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前言阿基米德的头脑较之荷马有更丰富的想象力。
——伏尔泰伊萨克。牛顿有句著名而又谦逊的格言：“我所以比别人看得更远，是因为我站在巨人的肩膀上。”当时，他心中确实铭记着古代最伟大的一位数学家，希腊叙拉古城的阿基米德。然而，阿基米德还是一位力学天才，在他众多的机械发明中，有水车，又称作阿基米德螺旋泵，是一种用于抽水进行灌溉的螺旋状泵。虽然人们对于阿基米德的生平以及他对自己的功绩的评价知之甚少，但多数评论家猜测，他对于自己在理论数学上的发现比实用发明更重视。例如，一个叫普卢塔克的写道：“而阿基米德具有这样一种崇高的精神，这样一种深奥的魂灵和这样一种科学理论的财富，虽然他的许许多多的发明为他赢得了声誉，并使他以‘超人的精明’而闻名，但他并不愿为这些课题著书立说，流传后世，而把一个工程师的工作和有助于生活需求的每一件艺术品都视为卑贱和和庸俗。他只潜心于研究那些不受生活品需求影响的精妙而有魅力的学科。”其他评论家则进一步认为，甚至当他从事杠杆、滑轮或其他机械研究时，他也是为了探索力学的普遍原理，而不是为了实际应用。
实际上，阿基米德对于理论的偏重胜于实际到什么程度可能永远不得而知。但有一点是清楚的：在他的作品中，理论和应用之间的关系是紧张的，而这种紧张的关系一直持续渗透到以后22个世纪的数学之中。
本书主要概述了数学所涉及的领域和范畴。我并不认为这本书包罗万象，然而它选择的主题很离奇，但它也只能如此。数学是世间每所大学都从事研究的一门学科，它至少像生物学一样有广泛的领域，在生物界中，某个研究人员正努力研究艾滋病毒，而另一个研究人员则在研究袋熊的社会化问题。
我对数学的探讨犹如我在研究中国莱谱，到处品尝，识别常见的配料和特殊的风味。在仅仅用过一次中餐之后，你很难成为一名中餐美食家，但比起从未吃过中餐的人却又知之较多。数学亦如此。研究几个数学课题，是不可能掌握数学中一切重要的内容的，但比起那些一窍不通的人来，你对这些课题的感受却又深得多。
目前已出版了许多论及数学方面的哲学基础的书籍，从某种程度上讲这是必然性的科学，因为它的结论在逻辑上是无懈可击的。还有许多作品却狂热地详述数学无穷大的性质和高维度的美。这种带有哲学式的、富有诗意的离题的论述却有它的市场，但却远没有涉及大多数数学家们所关切的问题。我在本书中主要描述的是那些数学工作者在实际中所遇到的地地道道的实用的问题。
我还想批驳一个错误观点：仅仅肯花力气进行足够的运算，就可得到数学的任何结果，换句话说，如果你想解一道数学题，只需做足够量的运算就行了。即使你我缺乏解数学难题的能力，但我们也怀疑内行人士——这些理解数学符号的人——是否都能够对他们选择的任何一个问题经过潜心研究后找到答案。毕竟，我们的知识使我们相信数学是属于演绎推理，推断一个数学结果要像推论“所有人都必定要死的”和“苏格拉底是人”，因此“苏格拉底必定要死的”一样简单就好了！
我写作本书的目的之一是要说明一种数学知识的局限性。在我们所考查的每个数学领域中，我要指出什么是已知的和什么是未知的。有时我们的知识是有局限的，因为某些领域刚刚开发，还没有多少数学家投身于对它的研究。知之甚少是这一问题的主要困难。此外，数学家的知识的局限性也是比较重要的因素。它表明，这些问题要从数学方面获得快速解简直是不可能的。
数字中充满了新奇。数字和形状是人文料学中最早关心的课题，但有关的许多问题仍然令人费解。比一个素数的概念更简单的能是什么——一个大于1的整数，像3，5，17，或31等不能被1和本身之外的其他整数整除的数？早在古希腊人的时代就知道素数是无穷尽的，但是没有一个人知道孪生素数——成对的素数，如3和5，相差2，它们是否也是无穷尽的。没有人知道是否存在无限多的完全数，像6一样等于它所有因子（当然除去它本身外，即3，2和1）之和的整数。而且没有人知道一个完全数是否是奇数。匈牙利伟大的数论家保罗。厄尔多斯是一个证明素数基本定理的大师——他在18岁的时候，就提出了著名的论证：在每个大于1的整数和它的倍数之间一定有一个素数——他认为，数学家们还远远没有理解整数，更何况其他类型的数。他说：“至少还得再过100万年，我们才可能理解素数。”
在数学上，对形状的理解也远远不够。在二维方面，关于什么形状可以在一定条件下用砖瓦贴盖表面的问题还有许多疑难未解之处。在三维的砖瓦贴面模拟中，形状的填充要尽可能使给定的空间密集，这对于许多基本形状来说仍悬而未决。但是，缺乏理论知识未必总是实用主义者的拦路虎，设计师罗纳德。雷施制造出三层半的复活节彩蛋就是明证。
由于有关数字和形状的基本问题仍未解决，因此对计算机——一种复杂的数字工具——能做什么和不能做什么常常众说纷纭，并出现一些混乱状态，这不足为怪。我尽量避开那些关于人和机器的本质的含糊不清的形而上学问题，便于向人们展示人们所不了解的关于计算的理论局限性方面的问题。我要讲述图灵通用计算机的惊人之处——分成若干单元的一条纸。我要考查一种可能出现的局限性：计算机科学家认为，他们将能够证明某些仅仅在探索阶段的计算问题——包括旅行推销员在一连串的城市之间要选择的最短路线的问题——从来没有被计算机（或数学家）有效地解决。从理论转移到实践，我特意检验了汉斯。伯林纳和丹尼。希尔设计的对弈机和通用计算机，使“三个臭皮匠，顶过诸葛亮”的构想走向极端。要知道这些努力的整个结局如何还为时过早，但这两种机器的性能在某些领域，已经超过了传统计算机。
从根本上说，旅行推销员问题无疑是数学问题，可是实际上已证明，用传统的数学方法解答它是无效的。在这本书里，我将介绍一种出现在设计选举系统或分配代表的问题中的类似的解决办法。从绝对意义上说，数学对这些问题是毫无帮助的。的确，数学证明了，它对开创一个完善的民主选举制在理论上无益，尽管缺乏完善的民主体制，但数学为公正的选举制和国会的公正分配方法指出了道路。
传说阿基米德是在一时的愤怒之中设计出一个关于牧牛的极其困难的数字问题。他的报复一直持续了22个世纪，直到1981年，使用刚诞生的一台巨型计算机才彻底解决了这一问题。牧牛的问题多少有些编造的味道。但是，面对阿基米德的报复，一代代数学家所感受到的挫折常常类似于那些比较自然地出现的较简单的数学问题所造成的报复。这种数学本身造成的报复看来还没有迹象会消退。
一个令人惊奇的宗教学生，解出了无穷大的平方根，这使他对计数烦躁不宁，他终于放弃了数学又继续学神。
第一篇 数 字在古希腊，没有社会保险号码，没有电话号码，没有人口调查统计数字。没有选举后的投票数字，没有统计数据，也没有1099个表格要填。当时，世界还没有数字化，但数字在希腊知识分子的头脑中至关重要。确实，在公元前6世纪，萨摩斯的毕达哥拉斯通过研究数字创立了一种宗教，因为，他不仅把数字看成记数的工具，而且看成神圣、完善、友好、幸运及邪恶的符号。数学的一个分支称作数论，研究的是整数的性质，就是由古希腊人开创而且至今不衰的。
以下3章专谈数论。在这几章里，我强调指出，某些最古老并且听起来是最为基础的问题仍然悬而未决。虽说其原因尚不清楚，但至今悬而未决这一事实本身却赫然耸立，从而排除了认为数字不过是某种刻板活动的看法。数论曾被视为数学最纯的分支；似乎对现实世界毫无实用价值。然而近年来，数论已变成密码学的一个强有力的工具。不过，正如我在第四章“比尔密码之谜”中所探讨的，至今还存在着数学分析无法破译的传奇密码。
第一章 邪恶的数和友好的数现为麻省理工学院大学生的米歇尔。弗里德曼，1985年在布鲁克林高中毕业班就读时春风得意，获得了当年的威斯汀豪斯科学天才奖的第三名。为了他这一获奖项目，他不想用海虾、果蝇或扁虫来弄脏自己的手，也不想处理随便任何一个多年遗留下的理论上的问题。不，他只是挑选了堪称数学上最古老而未决的问题来对付。那是困扰着古希腊人和自那以后的每个人的一个问题：即存在奇数完全数吗？
毕达哥拉斯及其好友认为，整数的完满性，即完全数是任何其所有除数之和（该除数本身外）等于该数本身的整数。第一个完全数是6。它可被1、2和3整除并且是1、2和3之和。第二个完全数是28。它的除数是1、2、4、7和14，这些数加起来为28。希腊人所知道的就是这些，尽管他们做过尝试，但没有发现奇数完全数。
圣经评论家注意到，完全数6和28反映在宇宙的结构中：上帝在6天内创造了世界，月亮每28天绕地球一周。然而，使这些数字成为完全数的是其本身，而不是凭经验所了解的世界的任何联系。圣。奥古斯丁是这样表述的：“6本身是一个完全数，并不是因为上帝在6天内创造了万物才如此；倒不如反过来说才对：因为6是完全数，所以上帝在6天内创造了万物。即使不存在6天工作一说，6依然会是个完全数。”
“数学的整个领域都极其散漫，”坦普尔大学数学教授小彼得。哈及斯说，“我研究完全数是出于闲散的好奇心，因为它可能是最古老的未决问题。研究它也许意义不大，然而这一问题如此古老，没有人认为对之进行研究完全是浪费时间。如果这一问题是5年前第一次提出来的，那它是决不会令人感兴趣的。”
无论在哪一领域，达到完善总是很难的，偶数完全数也不例外。但是，人们至少知道它们是存在的。我们已发现了30个偶数完全数，最大的是一个由13万位阿拉伯数字组成的庞然大物：2216，090（2216，090…1）。也许第三十一个完全数不会出现了，因为早在2300多年前数学家就已知道有无穷多的素数（即只能被1和它本身整除的数），但在同一时期，他们却不能决定完全数是不是无限的。
要是在俄国茶室或“四季”咖啡馆里喝着可乐会见米歇尔。弗里德曼我会很高兴的，但他宁可让我们在斯替韦桑特中学他的校长办公室中见面，而该校是曼哈顿数学家和科学家的中心。传说，爱因斯坦不能做加减运算，但可在睡梦中研究高深的数学。米歇尔的情况也可以这么说。在选择我们会见时间这种简单的事情中就体现了出来，因为这位杰出的小伙子不适于将中学时间——“第三节”和“第五节”——转换成我们常人所遵照的小时和分钟。然而一旦我们真聚到了一起，这位腼腆的天才就口若悬河地谈论起来，一下成了使人兴趣盎然的人了。
米歇尔告诉我：“去年我为一位数学老师写一篇论文，我知道关于奇数完全数的问题。这问题使我感兴趣，因为它很简单，可还没人找到答案。”接着，米歇尔首先回顾了完全数的历史。
古人只知道4个完全数，它们是：6，28，496和8，128。欧几里得认识到——大概只有古希腊的神祗才晓得他是如何知道的完全数 ………… 位数1。 21 （22…1 ） =6…………1 2。 22 （ 23…1 ） =28…………2 3。 24 （25…1） =496…………3 4。 26 （27…1） =8，128…………4 5。 212 （213…1） =33，550，336…………8 6。 216 （217…1 ） =8，589，869…………056…………10 7。 218 （219…1） =137，438，691，328…………12 8。 230 （231…1） =…………19 9。 260 （261…1） =…………37 10。 288 （289…1） =…………54 11。 2106 （2107…1） =…………65 12。 2126 （2127…1 ） =…………77 13。 2520 （2521…1 ） =…………314 14。 2606 （2607…1 ） =…………366 15。 21，278 （21，279…1） =…………770 16。 22，202 （22，203…1） =…………1，327 17。 22，280 （22，281…1） =…………1，373 18。 23，216 （22，317…1） =…………1，937 19。