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间接代表制中，决定分配给每一选区的代表名额时也会出现，如同美国众议院那样。
第十二章 数学中的民主对策论是对冲突进行数学分析，它存在于政治、商业、军事或各项事务之中。对策论诞生于1927年，由数学全能行家约翰。冯纽尔曼创立。冯纽尔曼认识到经济与政治中的某些决策条件在数学上与某些策略对策等价。所以从分析这些对策中所学到的东西可以直接应用于现实生活中的决策上。在1944年冯纽尔曼与普林斯顿大学经济学家奥斯卡。摩尔根斯特朗合著的当代经典著作《对策论与经济行为》出版之前，对策论，也叫冲突的科学，是鲜为人知的。
对策论的部分智力感染力在于它的许多成果，如量子力学或相对论，似乎是直觉的，甚至是颠倒性的。典型的一个问题是1948年《美国数学月刊》提出的，它还不时地在文献中出现。有3位名叫阿尔、本和查理的男子，参加一个新式的以气球为目标的掷镖游戏。参加游戏者每位各持一气球，只要气球不破，就可以继续参赛，优胜者属于惟一保持气球完好的参赛者。投掷的每一轮参赛者都以抽签决定游戏的掷镖顺序，然后依次投掷一支习镖，他们对各自的投掷技巧全部心中有数：阿尔可以在5次中4次击破气球（命中率80％）；而本则在5次中可3次击破气球（60％命中率）；查理却是每5次只有2次可以击破气球（40％命中率）。那么每位参赛者究竟采用什么策略呢？
答案很明显。每位掷镖者都得把目标对准较强对手的气球，因为如果把它击中，他所要面对的只是较弱的掷镖手。不过，如果所有3位参赛者全都采用这种切合实际的试探策略，那么他们会得到与掷镖技巧相反的结果！概率计算显示，查理这个最差的掷镖手，取胜的机会最大（37％）。而阿尔这个最好的掷镖手，获胜的机会最低，为30％。本的获胜机会也只有33％。
问题出在哪里？问题就在于阿尔和本自己互相拼斗时，查理几乎不受任何威胁。由于阿尔和本彼此都坚持他们开始的策略，而使查理增强了他的幸存能力。
对于阿尔和本两者来说，最佳的策略莫过于在把查理除掉之前彼此之间不进行争斗；而查理的最佳对抗策略仍然是把镖掷向较硬的对手阿尔。在这种形势下，阿尔和本获胜之机会分别增加到44％和46。5％，而查理获胜的机会则会戏剧性地下降到9。1％。然而这种局面可能是不稳定的。因为它需要阿尔和本进行合作。虽然阿尔是最佳的掷镖手，但他还是没有取胜的最佳机会，他可能想欺骗本。但是如果他不能用欺骗的飞镖把本击败，则本可能回击，而且计算出来的获胜机会将会再次发生变化。
如果阿尔不与本合作，不论他是否可以欺骗本，他可能试用另一种策略，这个策略曾在耶鲁大学数学研究所经济学教授马丁。苏比克所著的《社会科学中的对策论：概念与解法》一书中讨论过。
主要观点是阿尔通过口头威胁，试图形成一种局面，使阿尔与本处于一种拼斗状态，但使查理不向他掷镖，如同第一种情况那样，而是把镖掷向本。阿尔声称，只要查理不向他掷镖，他也决不向查理的气球掷镖（而且总是把镖掷向本）。阿尔要让查理明白，如果查理向他掷镖，他会还击的。假如有报复的威胁，则概率计算就会证明，查理最佳做法仅是向本的气球掷镖。如果本也攻击阿尔，则阿尔的总获胜机会仍为44。4％，本则为20％，查理却是35。6％，阿尔虽然未能增加其获胜机会——百分率没有变化——但现在他是竞争中的领先者。
当然，本也不善罢甘休。因此他也会像阿尔那样，对查理发出警告：“只要你不向我掷镖，我也不向你掷镖。要是你向我攻击，我也以牙还牙。”面对来自两个对手的威胁，查理的最佳策略是不对两者中任何一位攻击，而是掷向空中，假定规则允许持这种消极态度的话！苏比克解释说，这种奇特的策略对查理来说是最好的，因为只要没有人攻击他，那么他在游戏第一阶段中的惟一目标就是在第二阶段中增加他与本的一对一的对抗，而不是与阿尔对抗。查理聪明的手腕已使他获胜的机会增加了0。6％，因而对阿尔来说获胜的机会现在是38。1％，对本来说则为25。7％，对查埋来说则是36。2％。不过这还不是最后的定论。如果阿尔扩大了他的威胁面，从而使查理不再向空中掷镖，那么局面就会变得愈加奇妙。
这个问题是对策论中诸多问题中典型的一个。其基本前提是每位参赛者都是有理性的，而且都是力图为自身利益考虑。这个问题的一项教益在于，显而易见的策略——每位参赛者都试图除掉较强的对手——并不一定是好策略。这就是我认为解法是反直觉的解释。当然，由于你更进一步地投身于对策论，那么你的直觉就会改变，而且如果它是完全意想不到的话，则意想不到的局面就会更加意想不到。气球战的另一项教益是，在缺乏有关参赛者能否联络、共谋、进行威胁或达成有约束力并可以实施的协议等信息的情况下，对可能的解法是不能进行正确评估的。在对策论中，往往需要了解这样的社会学因素。
无须试图进行严格的论证，我们就能很容易地理解，气球战可能类似于政治或经济的竞争。按照纽约大学政治学教授斯蒂温。布拉姆斯的看法：气球战的知识可以扩展到多位候选人的政治竞选上，诸如1984年新罕布什尔州的民主党总统预选，当时有8个候选人竞选。布拉姆斯说道：“看来这些候选人的最佳战略，莫过于在他的部分政治势力范围内追随最强的对手。如果你是一个自由主义者，而且另外还有两位自由主义者，那么你就要追随最强的一位。于是所发生的情况将是两位最强的对手就会彼此攻击，而且最弱者就会存留下来了。”这时，如果所发生的情况全面出现，那么最弱的候选人就会在其政治势力范围内幸存下来。布拉姆斯说：“这是没有办法的，强有力的候选人会在这类竞选场合中崭露头角。”
1951年，美国经济学家肯尼思。阿罗令人信服地论证：任何可以想得出的民主选举制度可能产生出不民主结果，这一论证使数学家和经济学家感到震惊。阿罗这种令人不安的对策论论证立即在全世界学术界中引起了评论。
1952年，后来在经济科学方面获诺贝尔奖的保罗。赛缪尔森这样写道：“它证明了探索完全民主的历史记录下的伟大思想也是探索一种妄想、一种逻辑上的自相矛盾。现在全世界的学者们——数学的、政治的、哲学的和经济学的——都在试图进行挽救，都试图挽救阿罗的毁灭性发现中能够挽救出的东西，对数学政治来说，这一发现就是1931年库尔特。哥德尔的数学逻辑的不可能证明一致性定理。”
阿罗的论证，称之为不可能性定理（因为它证明了完全民主在事实上是不可能的），该论证已帮助他于1972年获得了诺贝尔经济科学奖。对策论中最早的和最惊人的成果之一，也就是阿罗的“毁灭性发现”所产生的影响使人们至今还能感觉到。
在民主投票中所固有的不民主悖论可以用一实例进行很好的解释。现有3位朋友，罗纳德、克拉拉和赫布，他们在辛苦工作一天之后，渴望吃一顿快餐。他们决定一起到3家餐馆（麦克唐纳、伯格王或温迪）中的一家去就餐。但3人不能取得一致意见。罗纳德渴望在麦克唐纳餐馆吃饭，那里有漂亮的分餐盘，里面装着油腻的汉堡包和大量新鲜的炸土豆条，至于其他两家餐馆，他喜欢伯格王，然后才是温迪。克拉拉想去吃牛排，因而他喜爱温迪胜过麦克唐纳，最后才是伯格王；赫布想吃大奶酪饼，因而最喜欢伯格王，最不喜欢麦克唐纳。
这3位朋友决定用表决方法解决问题，首先在麦克唐纳和温迪之间选择，然后在取胜者与伯格王之间进行表决。如果罗纳德、克拉拉和赫布每人都按他们所实际喜爱的投票，那么他们最后会选定伯格王（第二名则是温迪）。
因为伯格王是克拉拉的最后选择，她会很不高兴。如果克拉拉在第一次投票不选择她真正喜爱的温迪，而改而投选她的第二选择麦克唐纳，那么她就能确保麦克唐纳在第一次和第二次中都能赢得表决。克拉拉由于开头违背了她自己的意愿而最终实现了所喜爱的结果，这就是悖论。
况且，即便罗纳德和赫布识破克拉拉的策略，他们也不能有效地加以干扰。赫布很生气，这是由于克拉拉巧妙的投票才使他的第三意愿餐馆成为获胜者。反之，克拉拉这一方的“诚实”投票就会使赫布的第一意愿成为获胜者。赫布试图说服罗纳德，让罗纳德和他一起合谋进行某种不诚实的投票。但罗纳德不愿意参与，因为这样做也不可能改变他自己的处境。克拉拉的投票已使罗纳德的第一选择的餐馆成为获胜者。
表决顺序的改变也不能消除巧妙投票的可能性。它所能做的是给别人而不是克拉拉不诚实投票的机会。假定这3位朋友首先在伯格王和温迪之间进行表决，再对获胜者与麦克唐纳进行表决，如果他们全都“诚实地”投票，那么最终会选择麦克唐纳，使赫布大失所望。
如果赫布足够机敏，能预见到这个结果，那么他应在第一次投巧妙的一票，以促使他们最终转向选择温迪。
其他可能的表决顺序——即首先在麦克唐纳和伯格王之间表决，而后在获胜者与温迪之间表决——情况也并不好些。
它只会给罗纳德以进行机敏投票的机会：虽然这3位将要就餐者遇到的窘境是虚构的，但它却不是编造出来的。在一系列的投票中，是从3个或者更多候选者中选出一个获胜者，巧妙投票的可能性可以在任何多数规则的表决中出现。
当美国众议院提出一项议案修正案时就会发生这样的情况。首先众议院要就修正案投票表决，如果获得通过，那么就应在修正案和完全否定议案之间进行第二次和最后表决。如果修正案未获通过，则第二次表决是在原议案和否定议案之间进行。
美国罗彻斯特大学的威廉。赖克在其《政治科学中的数学应用》一书中分析了1956年众议院关于要求联邦政府资助学校建设议案的表决情况。当时提出了修正案，要求联邦政府只向那些已经取消种族隔离学校的州进行资助。众议院实质上已分成三个利益集团：共和党人、北方民主党人和南方民主党人。反对联邦资助，但赞成取消种族隔离的共和党人完全赞成否定议案，但相比之下，宁愿要修正案而不愿要原议案。而北方民主党人赞成修正案，但宁愿要原议案而不愿要否定议案。南方民主党人都是来自实行种族隔离学校的各州，他们赞成原议案，但宁愿要否定议案而不愿要修正案。
对于修正案的表决，共和党人和北方民主党人一起投票，赢得了表决。但是在第二次表决，即在修正案和不否定议案之间表决时，共和党人与南方民主党人联合，否决了修正案。在这里，这种悖论表现为：在没有修正案的情况下，要在原议案和否定议案之间进行直接表决，则原议案无疑会赢得胜利！
赖克得出结论：“选择可能取决于表决顺序这种看法似乎还是不够的，这一事实可以用来扭曲立法程序的结果。它有可能会产生一种表决上的悖论，即使议案在悖论产生之前就已获得通过，也会使立法机构无法采取行动。立法议员可以提出修正案，使这种悖论得以产生，而且如果表决程序恰好正确的话，那么修正议案将会被否决。”
早在18世纪，法国数学家让…安托万…尼古拉斯。卡里塔特，德。孔多塞侯爵就看出了表决的悖论。他发现社会上往往有优先选择，但是如果是个人的优先选择，就被认为不合理而不加以考虑。现在回过头来考虑我们3位饥饿的朋友，罗纳德喜欢麦克唐纳胜过伯格王，而伯格王又胜过温迪。已知这些优先选择，要他喜爱温迪胜过麦克唐纳，对他说来是不合理的。然而，这些却恰恰是我们的朋友作为整体时的优先选择！在集体表决中，他们宁愿去麦克唐纳而不去伯格王，宁愿去伯格王而不去温迪，宁愿去温迪而不去麦克唐纳。所以，从数学的观点来看民主是不是有内在的不合理呢？
罗纳德的优先选择：麦克唐纳→伯格王→温迪因此：麦克唐纳→温迪集体的优先选择：在民主表决中的数学悖论已由世界上一位大对策学家史蒂文。布拉姆斯进行了广泛研究。他不仅把数学用于涉及表决方面的各种问题，还用于各种各样看来�