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七
我们常常被告知，古典算术经过丢番图才第一次摆脱其感觉束缚，在广度和深度上有所深入。可实际上，丢番图并没有创造代数学（未知量的科学），而只是把代数学带入了我们所知的古典数学框架的表达。而且他的成就是如此之突然，以致我们不得不假定，他能有那样的成就，是因为已经有了一个先行存在的观念储备。但是，这并不意味着他的成就丰富了古典的世界感，而只是彻底地胜过了它而已，这一简单的事实本身就足以说明，丢番图本质上根本不属于古典文化。在他身上发挥作用的，乃是一种新的数字感，或者不妨说，是对实存之物和既成之物的一种新的限度感，并且也不再是希腊人的产生了欧几里得几何学、裸体雕塑和钱币的那种在场感觉的限度感。对于这一新数学的形成的具体细节，我们所知甚少——丢番图就这样独自矗立在所谓晚期古典数学的历史中，以至于有人猜测他受到了印度数学的影响。但是在此，这一影响实际上也是早期阿拉伯学派——迄今为止，人们对这些学派的研究成果（决非教条的）的探讨还是十分不完整的——的影响。在丢番图那里——尽管是无意识的——他本质上使自己走向了他企图建立的古典基础的对立面，在欧几里得式的意向的表面之下，浮现出来的乃是一种新的限度感，我们称之为“麻葛式的”限度感。丢番图不但没有扩大数作为一种度量的观念，反而（不明智地）消除了这一观念。没有一个希腊人能够对一个未知（undefined）数a或一个无名（undenominated）数3给出任何的表述——因为它们既非数量，亦非数列——而丢番图的新的限度感则通过这类数获得了感性的表达，它们即便没有构成丢番图的论述本身，至少也为这一论述奠定了基础；我们现今用于武装我们自身的（经过再次重估）代数学的字母记号体系，是1591年由维塔（Vieta）首先引入的，这毫无疑问——尽管不是故意的——是为了对抗文艺复兴时期的数学中的古典化倾向。
丢番图生活在大约公元250年，也就是阿拉伯文化的第三世纪，这一文化的有机历史，直到今天仍被窒息在罗马帝国和“中世纪”的表面形式之下，可在那时，它包容了后来属于伊斯兰的地区的在我们的纪元开始之后所发生的一切。恰恰是在丢番图的时代，阿提卡雕塑艺术的最后身影已经变得苍白无力，随后便是我们在早期基督教…叙利亚风格中看到的圆顶、马赛克和石棺浮雕的新的空间感。在丢番图的时代，古代艺术和谨严的几何装饰曾再度出现；在那个时代，戴克里先（Diocletian）也完成了将此时仅仅徒有其名的帝国向一个哈里发统治的转变。在欧几里得和丢番图之间，以及在柏拉图和普罗提诺——一种已完成的文化的最后一位总结性的思想家、一位康德式的人物，也是一种刚刚觉醒的文化的第一位经院学者、一位邓斯·司各脱（Duns Scotus）式的人物——之间，整整相隔了四个世纪。
正是在这里，我们第一次意识到了那些高级个体性的生存，它们的降生、成长和衰败构成了真正的历史实体，支撑着历史表面那缤纷的色彩和万千的变化。古典精神大约在公元前1100年诞生于爱琴海的周边地区，它在罗马人那冷冰冰的才智中步入了其最后的阶段，而整个的古典文化及其所有的作品、思想、伟绩和废墟，则构成了这一精神的“实体”（body）。阿拉伯文化在古典文明的掩护下自奥古斯都时代开始便在东方生根发芽，然后遍及自亚美尼亚到南阿拉伯、自亚历山大里亚到忒息丰的广大地区，因此，我们不得不称罗马帝国的几乎整个“晚期古典”艺术、东方所有年轻而热忱的宗教——曼达派（Mandaeanism）、摩尼教（Manichaeism）、基督教、新柏拉图主义等，皆是这一新的心灵的表现，而在罗马本土，跟帝国广场群（Imperial Fora）一样，万神庙（Pantheon）堪称是第一清真寺。
亚历山大里亚和安条克（Antioch）的人们仍在用希腊语写作，并认为他们也是在用希腊语思考，这一事实并不重要，如同直到康德时代拉丁语还是西方人的科学语言、以及查理曼“复兴”罗马帝国这样的事实没什么重要一样。
在丢番图那里，数已不再是有形事物的度量和本质。在拉韦纳的马赛克中，人不再是一个实体（body）。不知不觉地，希腊人的那些名称已经失去了其原初的含义。我们已经离开了阿提卡的καλοκαγαθια（高贵）的斯多葛学派的αταραξια（不动心）和γαληνη（恬淡）的领域。确实，丢番图尚不知有零和负数，但他也不再使用毕达哥拉斯学派的数。阿拉伯数字的这种不确定性也与后来西方数学中的受到控制的可变性，即函数的可变性，有相当的不同。
麻葛式的数学——我们可以看到其大概，尽管对其细节尚无认识——经由丢番图（显然，他并非起点）大胆而合乎逻辑的改造，至阿拔斯时期（Abbassid period）（公元9世纪）达致巅峰，我们在花拉子密（Al…Khwarizmi）和阿尔西德施（Alsidzshi）那里可以欣赏到这种数学。并且，如同欧几里得几何学之于阿提卡雕塑，以及空间分析之于复调音乐一样（它们皆是同一表现形式的不同表达媒介而已），这种代数学之于麻葛式的艺术及其马赛克、阿拉伯风格的图案（萨珊帝国和后来的拜占廷皆以一种越来越铺张奢华的、有形或无形的有机主题生产着这种风格）和它的君士坦丁式的高浮雕（在那里，不确定的深度阴影区隔着前景中处理自如的形象），亦是同一表现形式的不同媒介而已。如同代数学之于古典算术和西方人的数学分析一样，圆顶教堂之于多立克式的庙宇和哥特式的教堂，则属于相同的媒介的不同表现形式。这不是说丢番图就是一个伟大的数学家。相反，我们已经习惯于将他的名字和许多东西联系在一起，而实际上那并非他一个人的成就。他的出乎意外的重要性在于这样一个事实，即就我们的知识所及而言，他是第一个明确无误地表现出那种新的数字感的数学家。相比较于那些总结数学发展的大师，如阿波罗尼乌斯和阿基米德，又如高斯、柯西（Cauchy）和黎曼，丢番图的工作，尤其是在形式语言方面，还是相当原始的。这些原始的工作，直到今天，我们还常常用它来指称“晚期古典”数学的衰微，现在，我们则应当学会理解和评价它，一如我们正在修正我们的蔑视“晚期古典”艺术的观念并开始在那里认识新生的早期阿拉伯文化初试啼音一样。类似地，利雪（Lisieux）的大主教尼古拉斯·奥里斯梅（1323～1382年）的数学也是古代的、原始的和处在摸索之中的：他是第一个灵活地运用坐标系来进行数学表述——尤其重要的是——并用它来描述等加速运动的西方人，这两种工作都以一种数字感为前提，这种数字感可能还模糊不清，但却是明确无误的，它完全是非古典的，也是非阿拉伯的。但是，如果我们进一步地把丢番图和罗马藏品中的早期基督教石棺、把奥里斯梅和德国教堂中的哥特式雕塑放在一起思考，就能看到数学家和艺术家在某些方面是共同的，那就是，他们都处在各自文化的抽象理解的相同（亦即原始）水平。在丢番图所处的世界和时代里，测体术的边界感——很久之前在阿基米德那里就已经达到了与大都市的才智相匹配的最完善精细的阶段——已经消失。在那整个世界里，人们都是不清醒的，是饥渴的和神秘主义的，不再像阿提卡人那样洒脱自如；他们是植根于年轻的乡村土地的一群人，不像欧几里得和达朗贝尔是植根于大都市的都市人。他们不再理解古典思想那深刻而复杂的形式，而他们自己的思想又是混乱的和新生的，和城市一样远未达到明晰和整洁的程度。他们的文化还处在哥特式的状态，一如所有文化在年轻的时候一样，甚至如同古典文化在多立克早期阶段——我们现今对它的了解只能通过它的狄甫隆陶瓶——的情况一样。只有到公元9至10世纪的巴格达，丢番图时代的年轻观念才经由具有柏拉图和高斯这种能力的成熟的大师而得以彻底完成。
八
笛卡儿的几何学出现于1637年，他的决定性的行为，不在于在传统的几何学领域引入了一种新的方法或观念（正如我们时常这么认为的），而在于他为一种新的数字观念引入了一个明确的概念，通过这一概念，使几何学摆脱了视觉上可认知的结构和一般的被度量或可度量的线条的束缚。由于笛卡儿的几何学，对无穷的分析变成了事实。严谨的、所谓笛卡儿式的坐标体系——一种半欧几里得式的、可理想地表达可度量的量的方法——其实早就为人所知（奥里斯梅就是见证），并一直被认为具有极度的重要性，而当我们对笛卡儿的思想穷根究底一番之后，便能发现，他所做的并不是完善了而是克服了那一体系。其最后的历史代表就是笛卡儿同时代的费马。
取代具体的线和面的感觉要素——这是古典界限感的一个典型特征——代之以点的抽象的、空间的、非古典的要素，从此以后，“点”被视为是一组排列在一起的纯粹数字。源自古典文本和阿拉伯传统的量的观念和可感知的向度观念被摧毁殆尽，代之而起的是空间位置中可变的关系值。一般来说，我们不认为这是几何学的替代品，仿佛从此之后，几何学只能是躲在古典传统身后的一个虚构的存在。“几何学”这个词有着一种不能随便扩展的阿波罗式的意义，而自笛卡儿时代开始，所谓“新几何学”，则是由综合和分析两部分构成的，其中综合的工作是针对不再必然地是三维的某个空间（它其实是“点的集合”）中点的位置而进行的，分析的工作则是通过空间中点的位置来定义数字。这样以位置代替长度之后，便会随之出现一种纯空间的、而不再是物质性的广延概念。
对传统的、视觉上确定的几何学的这种摧毁，最明晰的例证，在我看来，莫过于把角函数——在印度数学中，它便是数字（我们的心智几乎无法理解印度人的这个词的含义）——转化成周期函数，由此而进入无穷的数字王国，在那里，角函数变成了级数（series），不再留有欧几里得几何图形的丝毫迹象。在此数字王国的所有部分中，圆周率π，如同纳皮尔（Napier）的底数e一样，产生了各种各样的关系，而不复有传统的所谓几何、三角、代数等的分划，这些关系本质上既非算术的，亦非几何的，所以，不再有人梦想着实际地画出圆弧或以图来说明乘方。
九
相当于公元前540年左右的时候，古典心灵由毕达哥拉斯这样的人发明了它自身所独有的阿波罗式的数，亦即那种可以度量的量，西方心灵则由笛卡儿及其同时代的帕斯卡尔、费马、德扎古斯（Desargues）这些人而发明了一种数的概念，这一概念是狂热向往无限的浮士德倾向的产物。数作为事物的物质性在场所固有的一种纯粹的量，与数现今作为一种纯粹的关系，正好平行而形成对照。如果我们可以把古典的“世界”，亦即宇宙秩序，视为是根基于对可见的界限的深刻需要，并因而视为是由物质性的事物所构成的总和，那我们也可以说，我们的世界图象乃是无限空间的一种现实化，在那一空间中，一切可见的事物几乎只能作为低层次的、局限于不可限度的在场而出现。西方文化的象征是其他文化所从未想到的一种观念，那就是函数的观念。函数决不是先前存在的任何数字观念的一种扩展，而是对它的彻底摆脱。由于函数观念，不仅欧几里得几何学（它是儿童和门外汉所共有的属于人的几何学，其基础便是日常经验），而且阿基米德的算术，对于西欧的真正有意义的数学而言，不再有任何价值。从此之后，数学单单只在于抽象的分析。对于古典人而言，几何学和算术是自足的和完整的最高科学，两者都是现象的，都只关心可以被描画或计数的量的大小。相反，对于我们来说，这些东西仅仅是日常生活的实际附属品。加法和乘法是古典的两种计算量的大小的方法，和其孪生姐妹几何图形一样，它们在函数过程的无穷性中彻底地消失了。甚至像乘方，最初只是数字地表示一组相同数值的连乘积，如今经由指数观念（对数），以及它在复数、负数和分数形式中的应用，也已经与数量大小完全没有了联系，而转移至只知道表示面积和体积的两种正整数的乘方的希腊人所难以理解的一种超越性的关系世界中了。例如，我们