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把数学应用到社会科学研究中，往往有三个必需的步骤：
第一，社会科学对某些问题的研究已深入到一定程度，我们对其规律性已经可以用描述性语言表达。
第二，将描述性语言转化为数学语言。
第三，应用数学语言推理，使讨论越出直观描述性语言所把握的深度，向精确化、定量化方向发展，推出直观一下子难以把握的某些结果。
在这三个必要步骤中，第一和第二步是基础，称为“提出数学模型”，或称“数学化”。第三步是用数学语言讨论模型。一般人们所理解的运用数学方法，则往往只看到第三步。其实，对于社会科学家最重要的是第一、二步。
在本书前九章中，我们用描述性语言分析了超稳定系统。
这是运用数学模型方法进行研究的基础。本章，我们主要是完成第二步，表明如何把描述性语言所叙述的规律转变为数学语言，提出中国封建社会超稳定系统的数学模型。
10。2从事件到数轴的映射：寻找主要变量
我们提出的数学模型仅局限于讨论王朝寿命问题。这样就可以暂时撇开中国封建社会超稳定系统其他方面的性质。前面，我们已经证明影响王朝盛衰的因素可以归结为无组织力量和一体化调节力量这两个主要的变量。
我们用Φ来表示整个社会的无组织力量，用Ψ来表示一体化调节力量。整个社会无组织力量Φ成为经济、政治、意识形态三结构无组织力量的总和，即：
Φ=Φ（经济）十Φ（政治）＋Φ（意识形态）
Φ（经济）主要表现为土地兼并的程度。从原则上讲，土地兼并的程度是可以计量的。
Φ（政治）是官僚机构的腐朽和膨胀程度的度量。第五章的曲线就是一种计量方法。
Φ（意识形态）是意识形态结构中的无组织力量，它似乎不好计量。但是我们在前几章证明它与经济。政治结构中无组织力量是成正比相关增长的、也就是说，存在着如下关系：Φ（意识形态）=k1Φ（政治）＋k2Φ（经济）。所以，我们可以说，Φ是可以计量的一个变量。
Ψ代表一体化调节力量。控制论关于系统的控制能力度量单位是“比特”，即单位时间内能作出多少二择一事件的选择。目前为止，我们并没有统计过中国封建超级大国在单位时间内拥有多少比特的调节能力，但Ψ也是可以计量的。
要用数学模型来讨论王朝盛衰，还必须有一个变量来表示王朝盛衰的状态。但要找出一个统一的量来度量王朝盛衰是有困难的。怎么办呢？数学中采用了一种重要方法，即规定一个从事件（在这里是王朝强盛、衰落或分裂等的各种可能状态）到数轴S的一个映射，使得各种状态对应着数轴S上不同的数，如图33所示。S上的点并不真正代表某一个可以实际计量的代表王朝盛衰状态的量，它只是一种简化了的数学表示方法。这种方法在物理学和生物数学中经常应用。如在广义相对论中引进空间曲线坐标系，空间不同位置的点与不同的数对应。这一坐标系仅仅是用数来表示空间不同位置，本身并无长度、角度等实在物理含义。这种表达方式可以使模型形象化，又不妨害计算。
我们把S称为“状态变量”，因为它描述模型中王朝盛衰状态。Φ和Ψ则称为“控制变量”，它们是影响王朝盛衰的两个主要条件。找到状态变量和控制变量，是提出模型的关键性步骤。
10。3王朝稳定性的数学表示
前几章中，我们论证了这样一个观点；一体化调节力量越大，无组织力量越小，王朝就越稳定。而当Ψ很小，Φ很大时，也具有这种性质。状态G是不稳定的。它不处于势函数曲线的洼中，只要有微小的干扰就会很快变化到两个稳态之一中去。形象地讲，系统处于稳定态，好比小球处于低洼的坑中。
对于不同的系统，变量的内容千差万别，稳定机制也极不相同。但这种高度抽象的数学表达方式，抓住了系统稳定性在行为方式上的共同特点，从而为研究系统稳定性是怎样随不同因素而变化提供了一般性的数学语言。
这样一来，Φ和Ψ这两个变量是怎样影响王朝的稳定性就可以用洼的深浅形象地表示了。一体化的调节力量越大，王朝的大一统局面就越稳定，其表示方法是Ψ越大，B洼就越深。而无组织力量越大（Φ越大），代表大一统的B洼就越浅。随着无组织力量增加Ψ减小，势函数变化如图35、图36、图37所示。当无组织力量Φ增大到一定程度时，B洼就消失，这时大一统王朝不稳定，系统不能再处于B，它一下子离开B，向A突变，如图37所示。这就是王朝崩溃。如果在崩溃动乱中无组织力量没有减少，系统就会落入A洼，呈分裂割据状态。同样，如果一开始社会处于分裂割据状态A，随着一体化调节力量的不断增加，Φ增大，势函数曲线就会如图38、图39、图40所示的变化。当一体化调节力量Ψ大到一定程度，分裂局面就维持不住了，系统重新从A状态突变到B状态，表示新的统一王朝的建立。我们找到王朝稳定性的数学表示，也就找到了王朝崩溃和建立的表达方法了，这就为建立数学模型奠定了基础。
10。4行为曲面与盛衰曲线
建立模型最重要的是明确Ψ、Φ两个变量和S的关系。我们以Ψ、Φ两个变量组成底平面，S为垂直坐标，在SXΨXΦ空间大一统封建王朝就不稳定，封建割据的分裂状态倒是稳定的。我们在讨论Ψ、Φ是如何影响S的时候，首先要设法用数学语言来描述王朝的稳定性。
控制论指出，任何一种稳定态必定有着相应的稳定机制，它可以抽象地用势函数趋于极小值的动态过程来表达，也就是说，稳态状态相当于势函数曲线的一个洼。如图34中，曲线有两个洼，第一个挂的中心位置在A点，第二个洼的中心位置在B点。只要系统处于A点或B点，都是稳定的。
为什么稳定性可以用这种方法来表示呢？因为从系统的行为来看，稳态可以看作是当这一状态受到某种干扰而发生偏离时，系统可以自动消除偏离回到稳定态。图34中的两个洼就具有这种性质。假如系统受到某种干扰偏离稳态A时，系统的势函数就相应增大了。系统的稳定机制是使势函数趋于最小，就会有一个变换，使系统状态回到稳态A。在图34中。这一稳定机制形象地表示为系统状态自动地下滑回A点。同样，另一个洼B点，中，描述S和Ψ、Φ关系的是一曲面，我们称之为“行为曲面”。
知道了行为曲面的形状，就知道Ψ、Φ怎样决定S了。但由于我们不知道势函数G（S、Ψ、Φ）的具体形式，粗一看去，行为曲面是导不出来的。但前面的讨论已明确，势函数最多有两个洼，一个洼代表王朝大一统状态，另一个洼代表封建割据状态。并且，Ψ越大，Φ越小时，大一统状态就越稳定，其相应的洼就越深。而当Φ越大，Ψ越小时，代表封建割据状态的另一个洼就越深。有了这种拓朴特征的规定，我们就可以在不了解函数G（S、Ψ、Φ）的具体形式条件下，也能得到行为曲面。新近的突变理论证明，凡是具有上述条件的势函数洼的位置和控制变量的关系，都可以用折叠型模型来表示，其行为曲面如图 41所示。行为曲面上任一点表示不同的Ψ、Φ值下封建王朝所处状态。行为曲面有一折叠，折叠的上半叶相当于系统处于B状态，即大一统状态；折叠的下半叶表示A状态，即分裂割据状态。折叠面之间的尖角形空间表示大动乱，它是由B到A突变过程的不稳定状态。当Ψ和Φ都很小时，折叠消失在Q‘点七，就是说Φ和Ψ趋于0时，社会组织几乎不存在了，这时也就无所谓社会的统一状态和分裂状态的区分了。
行为曲面的折叠在底平面（控制平面）上的投影为一尖角形（图42）。折叠的一边Q‘M’在底平面上的投影为QM，另一边Q‘N’的投影为QN。我们将QN称为“建朝边界”，QM为“动乱边界”。为什么要这样称呼呢？如果社会一开始处于分裂割据状态K，随着Ψ、Φ两个量的变化，社会状态沿着KK‘曲线在曲面上变化，一旦到达Q’N‘边界上，分裂割据状态的面就中断了。系统状态将突变到行为曲面上半叶的L点，表示大一统的新王朝建立。K’点相应的Ψ和Φ值正好在QN线上，也就是说QN线表示一条边界，只要Ψ、Φ值一旦达到它，新王朝建立，所以称QN为建朝边界。同样，只要Ψ、Φ值落到QM线上，系统状态就从上半叶跌落下来，跌落过程处于折叠区的空间，表示社会的大动乱。所以QM线称为动乱边界。在底平面图上，QM以 下的区域表示系统处于分裂割据状态，大一统王朝不能建立。现在，我们可以用图41所示的模型来形象地描述中国封建王朝的盛衰变化了。我们假定，一个新王朝建立时Ψ、Φ的情在a1点上，随着Ψ、Φ两个值的变化，社会状态点在行为曲面的上半叶沿着曲线a1b' d'1运动。到达d'1点上，Φ、Ψ值就到达了动乱边界，大动乱以突变的方式出现，社会状态顺着d'1K线落下来。一旦社会状态脱离d'1点处于两个折叠面中间时，表示整个社会处于不稳定的大动乱之中。这时，就有两种可能性。一种是大动乱有效地杀伤了无组织力量，使Φ位迅速变小，也就是说Φ值在社会状态离开d'1点时就开始减小，还未落到行为曲面下半叶时，无组织力量Φ的值已充分小，使得Ψ、Φ值又回到建朝边界上。这时系统就不会落到K点，分裂割据不会出现。系统状态在Φ变小过程中落到行为曲面下半叶的折叠边界——建朝边界上，系统马上又以突变的方式回升到行为曲面的上半叶。新的大一统封建王朝建立了。它表示改朝换代。第二种可能性是，大动乱没有有效地消灭无组织力量，Φ值不能迅速变小，Ψ、Φ值不能回到建朝边界上，这时系统就会落到行为曲面的下半叶，表示出现稳定的分裂割据局面。
我们可以看到，只要根据王朝各个时期Ψ、Φ两量的变化，就可以通过模型把握王朝盛衰和动乱。读者显然可以发现第六章图17所示超稳定系统行为曲线，就是根据这一模型画出的。读者会说，这种数学模型有什么用呢？它只不过把我们用描述性语言所叙述的历史过程用一个立体模型图来表示一下而已。实际上数学模型的作用远不止于此，它可以使我们把握用直观的描述性语言所难以捉摸的条件。例如，Ψ、Φ两个变量变化到什么范围内会出现王朝崩溃，在什么条件下稳定的分裂割据状态会出现等等，从而使研究可以更为清晰和细致。下面，我们根据模型作深入一步的讨论。
1O。5王朝盛衰方程
我们先分析Ψ、Φ变化的规律性。中国封建社会存在三种不同状态：大一统王朝的稳定局面、崩溃动乱和分裂割据。在这三种状态下，Ψ、Φ变化的情况是不同的。下面，我们分别进行讨论。
一，统一王朝稳定状态。
这时，Ψ、Φ的变化是连续的，不采取突变的方式。Ψ、Φ两个量的变化可以用微分方程来描述，也就是说，Ψ、Φ两个量各自只能影响对方和自身的增长率，而不能直接限定对方。这是社会稳定期间连续变化的量往往具有的特征。于是可以用如下方移表示Ψ、Φ的关系：
dΨ/dt=p（Ψ、Φ）
dΨ/dt=Q（Ψ、Φ）
一般说来，P（Φ、Ψ），Q（Φ、Ψ）是。，Ψ的非线性函数。在每个大一统王朝中无组织力量和一体化调节力量能存在大致机同的制约关系，我们可以认为方程（1）、（2）对于历代封建王朝都是相同的。显然，只要知道（1）、（2）方程的具体形式，Ψ、Φ两个量在王朝稳定阶段的变化情况就可以确定了。个尽管我们还不具备精细地、定基地考察Ψ、Φ之间关系的条件（缺乏统计分析基础），但仍可以根据前九章得到的历史结论对方程进行考察。
我们已证明无组织力量中的增长是不可遏制的，并且具有自繁殖性。这些特征可以用数学形式表示为；
dΨ/dt=P（Ψ， Φ）》0 ，且
P（Φ1，Ψ）＞P（Φ电，Ψ）当Φ1＞Φ2时 （3）
我们还论证了一体化调节力量越大�