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＇英＇ E。A。艾勃特著
陈忱译
科学普及出版社
内容提要
这是历史上第一本讨论非三维世界的科普作品。它以通俗的语言，丰富的想象和生动的叙述，展示了具有各种维数的世界的有趣特点，并通过不同维数的智慧生物彼此间难以互相沟通的巧妙情节，揭示出只能靠推理和类比来摹想高维世界的存在。这在一个世纪之后的今天看来是很有现实意义和启示作用的。
译者前言
1884年，一位名叫艾勃特（Edwin A。 Abbott，1838~1926）的英国牧师写了一本小册子，书名叫做《二维国》（Flatland）。他写这本书的目的何在呢？是为了借一个子虚之地来针贬现实的社会？是为了从阵营内部猛揭一下宗教阶层的疮疤？是为了别开生面地宣讲生命的惊人适应性？是为了揭示实现认识突破的艰难以及歌颂人们追求这种突破的努力？都有可能。但可以肯定他说，无论作者的真实目的如何，这本书实际上成了第一本构想种种不同维数的物质世界，并科学地讨论它们之间的关系的科普著作。
能解决人们心中紊绕多年的疑团的人无疑是杰出之辈。然而，能够跳出习见囿定，从大多数人甚或几乎所有的人都认为当然如此的地方发现问题并提出别开生面的见解的人，恐怕是更为了不起的人物。艾勃特就属于后者。他冲破了人类自有意识以来就一直先验地信奉的物质世界“自然”有三个维数的观点。习惯势力是最可怕的势力。这一点，他是十分清楚的。因此，他巧妙地运用了迂回战术，即用较多的篇幅详细介绍了一个只有两个维的世界，通过对这个国度中的“人”如何进行作为有智慧生物的活动而使读者感到，这样的国度、这样的生物是确实有可能——只要存在着二维分子和原子——出现并不断发展和进步的。接下来，他又进一步通过二维“人”先后与三维生物和一维及零维生物的交往，揭示出维数之差的鸿沟是何等地难以逾越，并得出了类比是实现理解的重要手段的结论。这样，艾勃特便在根深蒂固的三维世界是唯一的存在这个固若金汤的阵地上打开了一个大缺口。这实在是他的高明之处。正因为如此，即使是到了爱因斯坦提出了多维空间的宇宙理论，并使之一举达到进入千家万户的普及水平的20世纪20年代，即使是到了情节更加引人入胜的种种有关多维世界的科幻小说层出不穷的60年代，即使是到了人们提出微观世界可能由十个维构成的80年代，《二维国》一书仍能作为一本“第一书”得到人们的推崇和一再引用，仍能作为一本畅销书得到一代又一代的广泛读者。至1952年，此书已再版7次。
艾勃特还有过不少著述，但至今均已湮没无闻，唯有这本他当时不肯以真姓氏发表的小册子，还能在一百多年后的今天从主题上，想象力上和论述的巧妙上，给读者们以丰富的启迪。正因为如此，译者不揣冒昧，将这本书推荐给广大朋友们。希望有更多的人从阅读本书中享受到启示的快乐。
陈忱
1988年10月
第一部 关于这个国家
——耐心点儿吧，因为世界是如此广阔
1．二维国的自然状况
这里所讲的世界叫“二维国”。这并不是我们随便给它起的名称，而是为使你们——有幸生活在三维空间的读者们——对它的本性更能清楚些才这样叫的。
设想平展着一张极大的纸，上面有直线、三角形、四边形、五边形、六边形以及其它图形；它们的位置不固定，能在纸面上自由移动，只是不能离开纸面做上下运动。它们很橡是些影子，不同的是它们有明亮的轮廓，并且是硬的。这样一来，你该对我们这个国家及其国民们有一个较为明确的概念了吧！要知道，若是在几年前，我是会称它为“我的宇宙”的。可现在，我的眼界已经升级了。
你立刻会觉察到，在这样的国家里不可能存在你们称之为“立体”的东西。可是，据我猜想，你一定认为我们至少可以靠视觉识别我刚才描述的那些可移动的图形，如三角形、四边形等。其实不然，我们看不见这样的图形，至少不能直接看出它们之间的差异。我们所能看见的只有直线，此外就既无所见，亦无可见了。我有必要马上来说明这一点。
把你们立体空间中的一枚硬币放在桌子中央，并从它的上方俯身向下看，你会看到它是圆的。然后你退到桌边，逐渐把眼睛放低（这便越来越接近二维国的国民所能看见的情况了），你就会发现这枚硬币在你的眼里变成越来越扁的椭圆形；最后，当称的眼睛与桌面完全在一个水平位置上时（此时，你的所见就同二维国的国民们完全一样了），这个椭圆就变成了一段直线。
你若用同样的方式看用纸片剪成的三角形或四边形等图形，其结果也会与上述情况一样。只要你的眼睛在桌边并与桌面平齐，它们看上去都不再是什么图形，而只是一段直线。以一个等边三角形为例——它代表二维国中的一位处于可敬阶层的商人，图1（1）便表明你在他上方俯身向下时看到的样子，图1（2）代表你的眼睛接近桌面的水平位置时看到的样子，图1（3）代表你的眼睛几乎与桌面平齐时所看到的样子。如果称的眼睛完全与桌面在同一水平线上，看见的便只是一条直线，正像我们在二维国里所看见的一样。
我在你们三维世界里曾听说，你们的水手也有相似的体验。当他们在海上航行时，会觉得天边的岛屿和海岸看上去也是这样。那遥远的陆地可能是左拐右折地蜿蜒着的海湾或地岬，可你在远处却看不到这些，只觉得水面上是一条灰暗的线在连绵不断地伸延着。（如果有阳光照耀，就会看到它是相间的亮暗线段的组合。）在二维国里，当这样一个三角形或其它老相识向我们走来时，我们所见的也正是这种情况。因为我们既没有太阳光，也没有别的什么光生成影子，因此没有什么能像你们在三维世界里那样帮我们观看。如果有人走近，我们会看见他的线段变长些，而在离去时则会变短些。无论是三角形、四边形、五边形、六边形，还是圆，我们看上去统统是一段直线。你也许会问——这是很自然的，在这种不利的情况下，我们如何识别朋友呢？随着我对二维国国民的描述，这个问题会很容易地得到合乎情理的回答。因此，我暂且将这个问题放一下，先把我国的风土人情介绍一二。
2．二维国的风土人情
同你们一样，我们的罗盘也指示四个方向：东、西、南、北。
我们这里没有太阳，也没有别的天体，用通常的方法来确定北方是不可能的。我们有自己的方法。根据我们那里的一条自然法则，二维国存在着一种恒定的向南的引力。它在温带处很微弱，因此连一般的妇女在那里也能毫不费力地向北走上几弗隆（弗隆是英国的长度单位，1弗隆＝1／8英里＝201。167米。——译者注）远。然而，在大部分地方，这种引力所产生的阻碍北行的效应也足以用来定向；此外，从北方送来的雨（降雨是定期发生的）也是一个附加的助力。在城里，我们的房屋可以用来指向，因为房屋的边墙多是修成南北向的，以使屋顶能遮挡北方降下的雨水；乡下没有什么房屋，我们就靠树干定向。总之，我们要确定方向并不像你们想象的那样困难。
在温带地区，向南的引力几乎感觉不到。有时，我走在那里的荒漠平原之中，找不到房屋和树木给我指向，结果不得不一连驻足几个小时，直等到下起雨来才继续我的旅程。对于体质虚弱或上了年纪的人，特别是对娇弱的女性，引力所起的作用比对强健的男子大得多。因此，如果男人在街上遇到一位妇女，总要让给她路的北侧——这是个教养问题。能随时做到这点并非容易，因为男子们身体强壮，在温带地区很难辨别自己所处位置的北侧所在。
我们的房屋不开窗子，因为无论何时何地，无论白天还是夜晚，屋内屋外都是一样的。我们从来不知道光是从哪里来的。很久以前，学者们最感兴趣并经常研究的问题，就是光是如何产生的。但他们反复尝试研究解决的结果，只是使越来越多的人发疯。因此，在许多毫无结果的尝试之后，立法机构只好用课收重税的对策间接地阻止这种研究；近来，这一活动已被绝对禁止。在二维国里，目前只有我一个人完全知道这个神秘问题的答案）可是，在我们二维国里却压根儿没有人理解我，结果我反倒成了笑柄！我，一个掌握了三维空间的基本理论的人，却像是狂人中的最不堪者！还是不谈这些令人痛心的枝节东西，回到有关房屋的问题上来吧。
我们最普通的房屋是五边形结构，如图2所示。两条面北的边RO、OF构成屋顶，一般不在这里设门；东边有一扇专为妇女开的小门，西边是为男人开的一扇大门；南边是地板，通常也没有门。
出于下述原因，我们那里不许建造四边形和三角形房屋。因为四边形（这里是指正方形。后文中提及的各种多边形，除特别说明的之外，均应理解为正多边形。——译者注）房屋的墙角要比五边形的小，三角形的就更小些，而无生命物体（如房屋）的边线比男人和妇女的边线更来得暗淡，所以，四边形或三角形房屋的尖角若被不经心的人撞上，就会造成严重伤害。按我们的纪元算来，早在十一世纪，法律便已规定，除了碉堡、军火库、兵营等民众未经允许不得接近的国防设施外，禁止建造三角形的建筑。在这个时期，四边形的房屋虽不受禁止，但政府以加征特别税的办法予以限制。大约叉过了三个世纪后，法律又规定，考虑到公众的安全，凡拥有一万人口以上的城市，五边形房屋的墙角是合法的最小构角。立法机关的努力得到了公众良知的反应。现在，即使在乡村，五边形的房屋也已取代了其它形式的建筑。只有在非常偏僻落后的农业区，考古学家才会发现一些四边形房屋。
3．关于二维国的国民
二维国里最高的成年人用你们的尺度表示约为11英寸（1英寸＝2。54厘米），12英寸被认为是我们人体高度的极限。
我们的妇女是直线。
我们的士兵和最下层的工人是有两个边相等的三角形。这两条边各长约11英寸，第三边也叫基边，它相当短（一般不超过半英寸）因此他们有一个极尖利的令人生畏的顶角。其实，他们的基边可以小到不足1／8英寸的程度，这时，他们几乎与呈直线状的妇女没有什么区别。为了区别于其它形状的图形，我们也同你们一样，把他们称为等腰三角形。以后我就这样叫他们。
我们的中产阶级由等边三角形组成。
我们的知识界人士是四边形（我本人便属于这一阶层），绅士则是五边形。
边数再多的就是贵族。他们又分为几个等级，从六边形起，然后边数逐渐增加，最高贵的被尊称为多边形。最后，当他们的边数槽多（而边长同时缩短）到与圆没有多少区别时，就进入了圆的行列。圆是神职人员，属于最高的社会阶层。
我们还有一条自然法则：男孩总能比他父亲多生出一条边来。按此规律，每一代就会提高一个等级，直至成为贵族。这样，四边形的儿子是五边形，而五边形的儿子是六边形，以此类推。
但这一条规律不一定作用于商人，更少发生在士兵和工人阶层中。他们的边不全相等，这条法则不适用于他们。因此，一个等腰三角形的儿子依然是等腰三角形。然而所有的人（也包括等腰三角形）的后代都有希望最终上升到自己的等级之上。每当取得一系列军事胜利或经过勤奋的技术性劳动后，士兵和手工业工人中的较聪明者的基边往往会有所加长，同时另外两条边有所缩短。这些低阶层中的较聪明者，其儿女间的通婚（婚姻是由神职人员安排的）所产生的后代会更接近等边三角形。
在众多由等腰三角形父母产生的后代中，也会出现一些丝毫不爽的等边三角形。但这种情况极少发生。他们能取得等边三角形的证件＇1＇。要造就出这样一个等边三角形后代，不仅需要他的先人进行多少代的精心安排的通婚，还需要他们进行长期不断的节制和自我控制训练，并一代又一代地耐心而有系统地持续提高自己的智力。
＇1＇来自三维世界的批评家可能会间：“要证件做什么呢？四边形的儿子自身，不就能证明他父亲是等边三角形吗？”我的回答是：任何一位女士都不肯与一个没有规则三角形证件的男于结婚。有时，一个稍不规则的三角形也会产生四边形的后代，但这类四边形的儿子几乎毫无例外地会表现出祖父辈的生理特点来，结果非但不是�