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才能使产量最大；或在产量一定的条件下，怎样组合，才能使成本最低。这类问题就是这要讨论的多种投入要素最优组合问题。人们常常通过它来选择最优的技术。
为了寻找投入要素的最优组合，需要利用等产量曲线和等成本曲线。
□ 等产量曲线的性质和类型
由于投入要素之间可以互相替代，所以，同一个产量可以通过不同比例的投入要素来生产。假如有两种投入要素：x和y。如果ｘ＝３，ｙ＝８；ｘ＝4，ｙ＝6；ｘ＝6，ｙ＝4；ｘ＝8，ｙ＝3等等，都可以生产出20件产品。那么把这些点连接起来的曲线就是产量为20件的等产量曲线。如图2。1。9所示。
所以，等产量曲线是指，在这条曲线上的各点代表投入要素的各种组合比例，其中的每一种组合比例所能生产的产量都是相等的。
等产量曲线有一个重要的特性是：处于较高位置的等产量曲线总是代表较大的产量。如在图2．1．6中，等产量曲线Ｑ２的位置高于等产量曲线Ｑ1。这表明Ｑ2的产量一定大于Ｑ1的产量，即Ｑ２＞Ｑ1。这是因为较高的等产量曲线上投入要素ｘ和ｙ的投入量必然要大于（至少是等于）较低的等产量曲线上投入要素x和y的投入量。在图2．1．6中，x2＞x1，y2=y1。由于假设较大的投入量一定会取得较大的产量，所以较高的等产量曲线一定代表较大的产量。
按照投入要素之间能够相互替代的程度，可以把等产量曲线划分为三种类型。
第一种：投入要素之间完全可以替代。例如，在发电生产中，如果发电厂的锅炉燃料既可全部用煤气又可全部用石油（当然也可以部分用煤气、部分用石油），我们就称这两种投入要素是完全可以替代的。这种等产量曲线的形状是一条直线。在这里，煤气替代石油的比例，即替代率，为1。5∶1，是个常数。
第二种：投入要素之间完全不能替代。如生产自行车，在投入要素车架和车轮之间是完全不能替代的。这种等产量曲线的形状是一条直角线。完全不能替代的投入要素之间的比例是固定的。如车架与车轮之间的比例为1∶2。
另外，这种等产量曲线有一种变型。即如果企业可以同时用几种生产方法生产同种产品，尽管每种生产方法的投入要素比例都是固定的（即投入要素之间不能替代），但企业通过生产方法之间的不同组合，仍可以改变整个企业投入要素之间的比例。这种变型的等产量曲线的形状是一条折线。
有两个车间都可以生产某种产品，A车间机械化水平高，用较多的资金与较少的劳力相组合。B车间机械化水平低，用较少的资金与较多的劳力相组合。每个车间内部投入要素的比例是固定的，但企业可以为每个车间分配不同的任务来调整整个企业投入要素之间的比例。
第三种：投入要素之间的替代是不完全的。例如，在生产中，设备能够代替劳力，但设备不可能替代所有的劳力，就属于这种情况。这种等产量曲线的形状一般为向原点凸出的曲线。所以会出现这种形状是因为对不能完全替代的投入要素来说，它们的等产量曲线的斜率一般随着投入要素x的量的增加而递减。 等产量曲线的斜率递减，说明这种类型的替代有一个重要的特性，即投入要素ｘ的边际替代率（Marginal Rate of Substitution，简称MRS）总是随着ｘ的量的增加而递减。
如果ｘ和ｙ是两种可以互相替代的投入要素，那么，ｘ的边际替代率是指当ｘ取某值时，增加1个单位的投入要素ｘ，可以替代多少单位的投入要素ｙ。用公式表示：MRS＝Δｙ／Δｘ。由于Δｙ／Δｘ就是等产量曲线在ｘ取某值时的斜率，所以，投入要素ｘ取某值时的边际替代率也就是等产量曲线上ｘ取该值时的斜率。既然，等产量曲线的斜率是递减的，所以，它的边际替代率也总是随着ｘ的增加而递减，也就是说，随着ｘ投入量的增加，增加1个单位ｘ所能替代的ｙ的量会越来越小。
□ 等成本曲线及其性质
等产量曲线只能说明生产一定的产量可以有哪些不同的投入要素组合方式，还不能说明哪一种组合方式是最优的。为了求最优解，就要考虑成本因素，即要看看哪一种组合方式成本最低。为此，在等产量曲线图上有必要再引进等成本曲线。
等成本曲线是指在这条曲线上，投入要素ｘ和ｙ的各种组合方式，都不会使总成本发生变化。假定生产某种产品，使用两种投入要素，其数量分别为x；y；投入要素x的价格是每单位500元，投入要素t的价格是每单位250元，总成本为1000元，那么，它的等成本曲线Ｃ１的方程为：1000＝500x＋250y。在等成本曲线C１的任何点上，x和y各种组合的总成本均为1000元。同理，Ｃ２是总成本为2000元时的等成本曲线，其方程为：2000＝500x＋250y。在曲线Ｃ２的任何点上，ｘ和ｙ各种组合的总成本均为2000元。
所以，假定有两种投入要素ｘ，ｙ，它们的价格分别为Pｘ和Ｐｙ，E为总成本，那么，等成本曲线的一般表示式为：
Ｅ＝Ｐｘ？ｘ＋Ｐｙ？ｙ
或 ｙ＝Ｅ／Ｐｙ－Ｐｘ／Ｐｙ？ｘ （2．1．2）
根据解析几何知识，我们知道：
E／Pｙ是等成本曲线在ｙ轴上的截距，在本例曲线Ｃ。１中，E／Ｐｙ＝1000／250＝４
…Pｘ／ｐｙ，等成本曲线的斜率，在本例曲线C１中，…Pｘ／ｐｙ＝…500／250＝－２。
这里，Pｘ／ｐｙ 是两种投入要素的价格比例。所以，如果投入要素的总成本发生了变化，但两种投入要素的价格比例仍保持不变，那么，曲线仅仅发生平行位移，因为它的斜率未变。
□ 最优投入要素组合的确定
1．图解法
如果已知等产量曲线，又已知等成本曲线，就可以用图解法来找最优的投入要素组合。办法是把这两种曲线画在一起，等产量曲线与等成本曲线的相切点，就是投入要素的最优组合点。
假设某企业可以用三种生产方法生产同一种产品Q，这三种生产方法的投入要素组合各不相同。生产方法A需要30单位劳力（L）和2单位资本（K）结合，以生产1单位Q。生产方法B需要20单位劳力（L）和4单位资本（K）相结合，以生产1单位Q。生产方法C需要15单位劳力（L）和6单位资本（K）相结合，以生产1单位Q。又假定劳力的单位成本为2元，资本的单位成本为6．5元，总成本为130元。请问哪种生产方法是最优的？
第一步：画等产量曲线。
为此，要先画出各种生产方法的射线。各条生产方法射线上的各点（如A１，Ａ２，…；Ｂ１，Ｂ２…等）表示用相应的投入量按各种生产方法，能够生产产品Q多少单位。把各条生产方法射线上的等产量点连接起来，即得等产量曲线Ｑ１，Ｑ2和Ｑ3。
第二步：画等成本曲线。
等成本曲线的方程为：130＝65K＋2L，这是一条直线。
第三步：找切点得最优解。
等产量曲线和等成本曲线相切于某点，说明该生产方法为最优。
2．多种投入要素最优组合的一般原理
多种投入要素最优组合的一般原理可表述如下：“在多种投入要素相结合以生产一种产品的情况下，当各种投入要素每增加1元所增加的产量都互相相等时，各种投入要素之间的组合比例为最优”。
这个原理也可以用数学式表示如下。
假设：有多种投入要素x１，x2，…，xn结合起来生产一种产品，它们的边际产量分别为Mpｘ１，Mpｘ2，…，Mpｘn，它们的价格分别为Pｘ１Pｘ2，…，Pｘ0。那么，只有当：Mpｘ１／pｘ＝Mpｘ2／pｘ２＝…＝Mpｘn／pｘn时，各种投入要素之间的组合比例为最优。
这个一般原理之所以成立，是因为如果各种投入要素每增加1元所增加的产量不等，那么，从每元边际产量较小的投入要素上抽出资金，用来增加每元边际产量较大的投入要素的投入量，就能在成本不变的情况下，使产量增加。既然有可能增加产量，就说明这时的投入要素组合不是最优的。例如，企业有两种投入要素ｘ１和ｘ2。投入要素ｘ１每增加1元，可使产值增加5元；ｘ2每增加1元可使产值增加10元。那么，从投入要素ｘ１中抽出1元资金转投于投入要素ｘ2，就可以在总成本不变的情况下，使企业的总产值增加5元。既然总产值还有增加的余地，说明现有ｘ１和ｘ2的组合不是最优的。结论是，只有当所有投入要素每增加1元的边际产量都相等时，投入要素的组合才是最优的。
例1：假设某车间男工和女工各占一半。在男工和女工之间可以互相替代。又假定男工每增加1人可增产10件；女工每增加1人可增产8件。男工工资为每人4元，女工工资为每人2元。问该车间男工和女工的组合比例是否最优？如果不是最优，应向什么方向变动为好？
解：
由于2．5件≠4．0件，说明此时男工和女工的组合比例不是最优。由于女工工资支出每增加1元的边际产量大于男工（4．0＞2．5），所以，变动的方向，应是减少男工，增加女工。
例2：假设等产量曲线的方程为：Ｑ＝ＫａＬｂ，其中K为资本数量，L为劳力数量，a和b为常数。又假定K的价格为PＫ，L的价格（即工资）为PＬ。请求出这两种投入要素的最优组合比例。
解：先求这两种投入要素的边际产量：
L的边际产量：MPＬ＝ a（KaLb）／ aL＝KabLb…１
K的边际产量：MPK＝ a（KaLb）／ aK＝LbaKa…１
根据最优组合的一般原理，最优组合的条件是：
所以，K和L两种投入要素的最优组合比例为aPＬ／ｂＰＫ。
□ 价格变动对投入要素最优组合的影响
如果投入要素的价格比例发生变化，人们就会更多地使用比以前便宜的投入要素，少使用比以前贵的投入要素。
劳动力价格提高，或资本价格下降，会导致最优组合的比例发生变化，即使人工投入量减少，使资本投入量增加。这个道理可以用来解释，如果从纯经济观点考虑，为什么对工业化国家来说是适宜的先进技术，对发展中国家不一定适宜。因为发展中国家工人工资低，采用一般技术反而更为经济。这个道理也可以用来解释为什么有些国家的农业主要采取广种薄收的方针，而另一些国家则采取精耕细作的方针。这是因为有的国家土地便宜而劳动力贵，而在另一些国家则是土地贵，劳动力相对便宜。
□ 生产扩展线
如果投入要素的价格不变、技术不变，随着生产规模的扩大（即增加产量），投入要素最优组合比例，也就会发生变化。这种变化的轨迹，我们称之为生产扩展线。
生产扩展线可以分为长期生产扩大路线和短期生产扩大路线。如果随着生产规模的扩大，各种投入要素的投入量都是可变的，这时投入要素最优组合的变化轨迹，我们称之为长期生产扩大路线。如果随着生产规模的扩大，至少有一种投入要素的投入量是不变的，这时的投入要素最优组合变化轨迹，我们称之为短期生产扩大展线。
□ 规模对收益的关系
迄今为止，我们对生产函数的分析一直限于投入要素组合比例的变化会对产量产生什么影响。规模收益（Return to Scale）问题则不同。它要探讨的问题是：当所有投入要素的使用量都按同样的比例增加时，这种增加会对总产量有什么影响。
假定L单位的劳力和K单位的资本结合可以生产Q单位产品，即L＋K→Ｑ。规模收益问题要探讨的是：如果L和K都增加a倍，产量Q将发生什么变化，即aL＋aK→？。
□ 规模收益的三种类型
假定aL＋aK→bQ，那么，根据b值的大小，我们可以把规模收益分为三种类型。
第一种类型：b＞a，即产量增加的倍数，大于投入要素增加的倍数。譬如，人工和资本增加1倍，能使产量增加2倍。这种类型叫做规模收益递增（Increasing Return to Scale）。
第二种类型：b＝a，即产量增加的倍数，等于投入要素增加的倍数。譬如，人工和资本增加1倍，产量也增加1倍。这种类型叫规模收益不变（Constant Return to Scale）。
第三种类型：b＜a，即产量增加的倍数，小于投入要素增加的倍数。譬如，人工和资本增加2倍，却只能使产量增加1倍。这种类型叫规模收益递减（Decreasing Return to Scale）。
□ 影响规模收益的因素
当改变生产规模时，随着生产规模从小�