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个重量，以便通过所有可能的中间重量（intermediate weights）；但是我们可以在2克之间插入1／10克、1％克、1‰克，甚至可以是万分之一克，如果我们希望进一步精确重量的话。但是没有人会认为一个小于万分之一克的重量根本不是重量。正是存在着运用天平也难以测出的重量差别，所以也就存在着我们难以觉察的感觉差别。
现在，毋庸置疑的是，我们曾用来测量感觉的坐标并不特别适宜于该测量的目的。我们从这个最简单的可能的刺激量值入手，即我们从1克所产生的压力单位入手，把我们坐标上的零点与该点相对应，从它开始向右填入我们的感觉单位。但是，当我们这样做的时候，我们没有把自己置于这样的境地，即为了获得一个确切的感觉单位的增加，我们除了必须在1克之上增加多少重量外，还可以得出其他什么结果；或者说，当我们受到一个更大量值的重量刺激时，在1克的压力感觉上已增加了多少感觉单位？至少，我们不知道由1克重量产生的感觉究竟有多大；也就是说，在一个坐标上从零点往左还有多少个感觉单位可以估算。很显然，用以测定的一个方法是，我们从感觉单位着手，而不是从确切的刺激单位着手；据此，从感觉开始的那个点进行测量。如果我们希望把我们的坐标变成一个自然坐标，我们将把这个感觉开始产生的点作为零点。但是，该点并非同时是刺激的零点。有些刺激如此之微弱，以至于它们根本无法被感觉到。为了产生一个感觉，刺激必须达到某一确定的量值，在具体的情形中，它是由感觉器官的特性来决定的。这里所述的情形与感觉差异相似。只有当刺激差别达到一个确定的强度时，它们才能被觉察到。同样，当刺激达到一个确定的量值时，一般说来感觉才能被觉察到。也许，可以假设这两种情形不仅相似，而且是完全相同的，也即产生一个感觉所必需的刺激强度，等于使一个最小可觉的感觉差异得以产生的刺激差异强度。但是，很容易看到这是不可能的。一个刺激差异的强度总是直接依赖于整个刺激强度，并且随着后者的减弱而减弱。所以，如果刺激变得无限小时，我们必须去假设刺激差异也肯定变得无限小。然而，这样做为实验条件所限制，实验条件告诉我们，每一种刺激若要产生一个感觉的话，它必须达到一个确定的量值。
因此，如果我们遵循我们前述的方法，用垂直线去表示与感觉系列相对应的刺激，那么我们必须在零点上画一条线，它的长度代表一个恰好产生可以分辨的感觉的刺激量值。如果我们保持压力感觉，就会发现l／50克是该重量的量值，它足以产生一个恰好可以分辨的压力感觉。我们将在零点处用垂直线表示这个重量。在1处（它离开0点的距离等于一个最小可觉的感觉差异），根据感觉对刺激的依赖关系，代表刺激的垂直线将延长1／3。也就是说，该刺激的起始量值是1／50或者3／150，在这儿等于4／150。简而言之，我们在前面坐标的基础上获得了感觉随着刺激增加而增加的相互关系（见图3），所不同的是，现在位于0处的新垂直线代表的是1／50克，而不是1克。
为了回答来自感觉方面的所有这些问题，这样两种测量方法一般来说已经足够了：首先，是对感觉强度随着刺激强度的变化而变化的恒常关系的测量；其次，是对这个最小可觉的感觉的测量。第一种测量能使我们划分感觉坐标，凭借刺激的帮助，我们可以将它按相等的部分划线。第二种测量为我们提供了零点，因此使得该坐标便于实际应用。如果我们在压力领域已经发现常数比率（constant ratio）为1／3，而且这个最小可觉的感觉由1／50克所产生，我们就可以免除所有进一步的测量，并且解决出现在我们面前的任何一个问题。假设我们想知道由1克的压力所产生的一个感觉强度，我们便以零点为起点，使用这个坐标。零点的压力是1／50克，位于1处的压力要比它大1／3；位于2处的压力又要比1处的压力大1／3，等等。我们将这个过程继续进行下去，直至我们达到1克所产生的压力，然后根据我们的感觉坐标把达到这个点所需的所有单位加起来。我们会发现我们几乎已经运用了14个单位，所以，如果我们开始用1／50克的重量压在皮肤上，然后用1克的重量压在皮肤上，那么我们已经越过14个最小可觉差。我们越是接近1克，与最小可觉差相对应的压力差异也就越大。第一个单位与起始刺激的1／3相对应，或者说与1／150克相对应。如果感觉直接随着刺激而增加，则我们的14个单位将与14／50克的增加而非1／3克相对应；而且，事实上，它们需要49／50克的压力增加，差不多相当于1克。
二
这种决定感觉强度的方法（通过逐渐把刺激从弱提高到强以产生一个最小可觉差），在实际应用方面会变得十分繁琐。直接的观察将具有更为简洁这一好处。因此，我们对于这个问题本身，提出是否可以发现某个更为简洁的方法，以便让我们只需通过一步就可以从1／50克达到1克，而毋须像我们上面所做的那样，运用不少于14个中间步骤。这个问题也许可用肯定来回答，因为对存在于感觉和刺激之间的依赖关系的考虑会使我们信服。
感觉和刺激在量值上是相互独立的，两者都能用数字来表示。代表感觉的数值随着刺激数值的增加而增加。在这一情形中，最简单的关系将是很明了的：与刺激相对应的是数字1、2、3等等，也存在用那些数字来表示的感觉。于是，我们可以说，感觉强度是与刺激强度直接成正比的。然而，这种简单的关系难以把握，刺激增加要比感觉增加更为迅速。当然，在一个数字系列比另一个数字系列增长得更快方面，现在有无数种形式可以用来表示这些数值之间的依存关系，例如，如果我们将每一个数自身相乘，这样我们便从数字系列l、2、3、4……获得另一个数列为1、4、9、16……。众所周知，第一个数列是第二个数列的平方根；后者为前者的平方，或者为第一个数列的二次幂。所以，如果用这两列数字来表示刺激和感觉之间关系，我们应该说，感觉相等于刺激的平方根。一个相似的数列（它与这个数列的差别仅仅是以更快的速度增加）可以通过把每个数字乘以本身两倍或者三倍来获得，于是达到了它本身的三次幂或者四次幂。如果这些数列中的任何一个数列表示刺激增加的速率，我们就可以说，感觉等于刺激的三次方根或者四次方根。但是，感觉强度的增加既非平方根，也非立方根，或者是刺激强度的其他任何方根。从这一事实中可以很清楚地看到，刺激增加与其引起的确定的感觉强度的增加是整个刺激量值的一个常数比。因此，既然有关的刺激增加总是保持相等，那么代表刺激的有关数字的增加也必须是一个常数。这在所引证的数列中并不存在这样的事实。例如，在数列l、4、9、16中，数字的增加应依次为3、5、7，而这些增加是与l、4、9有关的；但是，由此得到的比例为3／1。5／4、7／9，它们并不相等。如果这个例子事实上遵循着感觉的定律，我们必须获得3／1、6／2、12／4等这样的分数，或者是其他一些特定的常数结果。但是，既不是二次幂也不是三次幂或者其他任何幂次方给出了这样的数列。
另一方面，存在着另一种应用非常普遍的数字关系，它精确地对应于感觉和刺激之间的关系。
如果我们稍稍注意一下一个普通的对数表，我们就可以发现表中的数字是以两个纵列排列的；其中一列包含普通数字，另一列为其相应的对数值。我们立即可以看到，后者的增加比普通数字的增加要缓慢得多，如同感觉增加的量值比刺激增加的量值缓慢得多一样。对于数字1，它排列在一边，我们发现作为它的对数的0是排列在另一边的。10的对数为1，100的对数为2，等等。这里，对于数字和它们的对数来说，我们看到这两个系列以十分相异的方式增加。如果我们观察得更仔细些，我们就会发现比外在的相似性更大的相似性。l、10、100、1000的对数为0、l、2、3，这些数字的增加与它们的量值之间存在怎样的关系呢？当1增加到10时，增加了9；当10增加到100时，增加了90；当100增加到1000时，增加了900。因此，它们的增加比率为9／1、90／10、900％。这些比率是相等的，例如，都等于9。现在，这个式子可以表示感觉增加的规律。感觉是以相同的量值增加的，而刺激的增加是这样的：它的每一次增加都与这一特定的整个刺激量值之间存在一个常数关系；对数以相等的量值增加，而此时它们数值的增加是这样的：它的每一次增加与相对应的量值之间总是存在相同的比率关系。所以，我们可以说，当刺激以其数字关系增加时，感觉是以对数关系增加的；或者，更为简洁地说（我们可以用某种确定的数字来表示任何一种刺激量值），感觉作为刺激的对数而增加。
对数表在心理学认识到它们的必要性前很久就已被人们自然地使用了。事实上，感觉对刺激的依存关系的表达仅仅是一种十分简单的关系的表达，它频繁地出现在量值依存性的表达上。例如，对数0，l，2，3以相同量1每一个区别于相邻值，而对应的数1，10，100，1000以同样的倍数（即每一例值的10倍）彼此不同。但是这样我们具有的求对数的唯一法则，那么这一过程也十分繁杂。幸好，事情是十分简单的。如果我们把一个数自乘到其全部可能次幂，我们也就能从这个数得到另一组数值。于是10的1次方＝10，10的2次方＝100，10的3次方＝1000。很清楚，通过这种将一个数自乘的方法，我们可以获得任何一组数值。如果我们把1又1/4。1又1/3、1又1/2作为10的指数，我们会得到一组落在10和100之间的数值。如果我们把2又1/4、2又1/3、2又1/2作为10的指数，所得到的数据在100和1000之间。而且，如果我们把所有可能的分数作为指数，那么我们将会获得10和100，100和1000等等之间所有可能的数字。为了获得小于10的数字，我们不能乘以数字10，而是把它自除若干次。正如数学家所说，我们必须计算它的负数次幂。这样10的…1次方＝1／10，10的…2次方＝1％等等。而在10和10的…1次方之间存在10的0次方，也就是1。如果我们用这些负幂次方中的分数作指数，那就可以得到这些分数所能得到的一切结果；从指数0到1之间得到的所有数值，都落入1和10之间。因此，只要计算10这个数的所有次幂，我们就可获得每一个可能的数值。现在，如果我们把这些指数0、1、2、3与相应的数字1、10、100、1000相比较，我们可以看到后者以相同的比率彼此依存，就像对数依存于它们的真数一样。当以乘方产生这些数以相等的倍数增加时，前者就以相同的增量增加。因此，这些幂并不指代其他任何东西，而是指代我们通过乘方所得数值的对数。现在，我们可以把感觉定律的公式表述如下：感觉依存于其刺激就像指数依存于乘方产生的这些数一样。
三
但是，把指数和对数与感觉相比较会产生一个疑问。正如我们已经看到的那样，存在着负指数；与此相应，也应该存在着负对数。如果我们把数字10自除1次、2次、3次和4次，我们就会获得指数0、－l、－2、－3或者对数0、－1、－2、－3。这些负对数数字如同正数一样是无限的。当我们想起这些负对数和幂表示分数时，这一点将很容易被理解。如果我们继续延伸10的…1次、10的…2次、10－3次或者1／10、1％、1‰。这个数列，我们会依次得到越来越小的分数。正如整个数列是无穷的那样，分数数列也是如此。然而，如果我们通过业已描述过的方法达到0，那就需要把10自除无限次数。因此，与0相对应的对数是无穷大的负数。但是，所有这些都适用于感觉吗？感觉会是负的吗？会存在既是负的又是无穷的感觉吗？
当我们讨论负感觉时，我们通常利用以下感觉术语来理解，认为它是与我们所说的正感觉呈相反方向的感觉。例如，寒冷是炎热的负感觉。但是，称寒冷为正感觉也是一样正确的，而此时炎热的感觉就是负感觉。这里的〃正〃与〃负〃，和它们在其他地方一样，其表达是相对的。负数并不意味着无：它和正数一样是一个真实存在的量值；我们可以任意地运用它们。一个店主把他估算的财产，把他账上统计的所有东西，或者把属于他的其他东西作为正数；他把所欠的债看作是负的。另�