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数学是一种普遍的符号语言 —— 它与对事物的描述无关而只涉及对关系的一般表达 —— 这种看法在哲学史上是很晚才出现的。而以这种预设为基础的数学理论直到十七世纪才出现。莱布尼茨在这方面是近代第一位伟大的思想家，他明确认识到数学符号系统的真正特性并且直接得出富于成效而意义广泛的结论。在这一点上，数学的历史与所有其它符号形式的历史没有什么不同。即使对数学来说，要发现新的符号思维之维也被证明是极其困难的。这样的思维，早在数学家们能够说明它的特殊逻辑品性以前，就已经在被数学家们使用了。象语言和艺术的符号一样，数学的符号从一开始就被某种巫术的气氛所环绕。人们带着宗教的畏惧和崇拜来看待它们。以后，这种宗教的神秘信仰慢慢地发展为一种形而上学的信仰。在柏拉图的哲学中，数不再笼罩在神秘之中。相反地，它被看成是理智世界的真正中心，它已经成了找到一切真理和可理解性的线索。当柏拉图晚年提出他的理想世界的理论时，他试图用纯粹的数字来描述它。数学对他来说是可感世界与超感世界之间的中间领域。他也是一个真正的毕达哥拉斯信徒，并且他也象毕达哥拉斯学派一样深信，数的力量遍及全部可见世界。但是数的形而上学本质不可能靠任何可见现象来揭示。现象分有着这种本质，但它们不可能充分地表现它 —— 它们必然不能完全符合这种本质。把我们在自然现象、天体运动中所发现的那些可见的数看成是真正的数学的数，那是一种误解。这里的数仅仅是纯粹理想的数的 “ 暗示 ” 。这些理想的数应当靠理性和理智来把握，而不是靠观察来认识。
“ 灿烂的天空应被看作是一种图案，其目的则在于展现更高级的知识。天空的美就象提特勒或其他大艺术家所精心绘制的图案画或肖像画的美一样，是我们可以有机会看到的。任何看见这些图案的几何学家都会赞赏它们的精湛，但是谁也不会认为，他在这些图中能发现真正的相等、真正的倍数或其他任何比例的真理。 …… 一个真正的天文学家在观看星辰的运行时不也有着同样的感受吗？他不也认为，天空以及天上的一切都是造物主以最完美的方式塑造出来的吗？但是他绝不会设想，昼与夜的比例、昼夜与月的比例、月与年的比例、它们与星辰的比例或星辰与星辰彼此间的比例以及所有其它有形的和可见的事物也都是永恒不变的。这样的设想是荒谬的，同样，花费那么大的气力去研究它们的精确真理也是荒谬的。 ”
现代认识论不再主张这种柏拉图式的数论了。它不再把数学看成是对可见的和不可见的物的研究，而是看作对关系和关系的类型的研究。当我们说到数的客观性时，我们并不把它看成是一种独立的形而上学的或物理的实体，而是认为：数是发现自然与实在的一种工具。科学史给我们提供了这种持续的智力进程的典型例子。数学思想似乎常常走在自然科学研究的前面。我们最重要的数学理论并不是由于直接的实际需要或技术需要而产生的。它们被看成是先于任何具体应用而存在的普遍的思想框架。当爱因斯坦提出他的广义相对论时，他用的是已创立的黎曼几何，不过黎曼当时仅仅把它看作纯粹的逻辑可能性。但黎曼深信，我们需要这样的可能性，它可以为描述现实的事实作准备。我们需要的是能充分自由地构造各种形式的数学符号体系，以便能给自然科学思维提供一切智力工具。自然是无穷无尽的 —— 它总是会向我们提出新的意想不到的问题。我们不可能预见事实，但我们可以借助符号思维的力量为能理智地解释这些事实作准备。
如果我们接受了这个观点，那我们就能回答近代自然科学最困难最有争议的问题之一 —— 决定论的问题。科学所需要的不是一种形而上学的决定论而是一种方法论的决定论。我们可以拒绝接受在拉普拉斯著名公式中表现出来的那种机械决定论，但是真正科学的决定论 —— 数的决定论，一般是不易遭到拒绝的。我们不再把数看成是一种神秘的力量或看作事物的形而上学本质，而是把它看成一种特殊的获取知识的工具。显然，现代物理学的任何成果都不会给这种看法带来疑问。量子力学的进展已经告诉我们，我们的数学语言要比经典物理学体系中的数学语言丰富得多、灵活得多，回旋的余地大得多。它对于新的问题和新的要求具有很强的适应性。海森堡提出他的理论时使用了一种新的代数符号体系形式，在这个符号体系中我们一些普通的代数规则是无效的。但是数的一般形式在所有这些后来的体系中都保留着。高斯曾经说过，数学是科学的女王而算术是数学的女王。克莱恩在对十九世纪数学思想发展的历史评述中指出，这个发展的最典型特征之一就是数学的逐渐 “ 算术化 ” 。而且在近代物理学的历史中我们也能注意到这种算术化的进程。从哈密顿的四元数到量子力学的不同系统，我们看到越来越复杂的代数符号体系的系统。科学家根据这样的原则行事：即使在最复杂的情况下，他最后也必须成功地发现一种适当的符号体系，使他能够用一种普遍的大家都能理解的语言来描述他观察到的现象。
确实，科学家并没有向我们提供关于这种基本假定的逻辑证明或经验证明。他给我们的唯一证明就是他的工作。他采纳了数的决定论的原则作为一种指导原则，一种调节观念，使他的工作具有逻辑的严密性和体系的统一性。我在赫尔姆霍兹的《生理光学论》中看到了对科学过程的这种一般品性的最好陈述之一。赫尔姆霍兹说，如果我们的科学知识的原理例如因果律，只不过是经验的规则，那它们的归纳证明就是非常糟糕的，我们所能说的最多就只能是，这些原理并不比诸如风的循环规律之类的气象学规则更有根据。但是，这些原理显而易见地具有纯粹逻辑规律的品性，因为从这些原理推导出来的结论并不与我们的现实经验和单纯的自然事实相关，而是与我们对自然的解释相关：
“ 我们对自然现象的理解过程就是：我们力图发现一般概念和自然规律。自然规律只是代表自然变化的一般概念。 …… 因此，当我们不能把自然现象追溯到某一规律时， …… 理解这种现象的可能性本身就不存在。
然而，我们必须努力去理解它们。没有任何其它的方法能把它们置于理智的控制之下。这样，在研究它们时我们就必须从这种假定出发：它们是可理解的。从而，充足理由律实际上不过是我们的理智的这样一种强烈要求：把我们所有的感觉都纳入它自己的控制之下。它并不是一种自然规律。我们的理智就是形成一般概念的能力。如果它不能形成一般概念或规律，它就与我们的感知和经验毫无关系。 …… 总而言之，除了理智以外，没有任何其它同等的系统化能力可以用来理解外部世界。这样，如果我们不能够构想出一个事物的话，我们就不可能把它设想成是存在着的。 ”
这些话以非常清晰的方式描述了科学精神的一般态度。科学家知道，仍然有大量领域的现象还无法归之于严格的规律和精确的数的规则。然而他仍然忠于这个一般的毕达哥拉斯派教义 —— 他相信，作为一个整体的自然及其所有特殊领域是 “ 一个数和一种和谐 ” 。面对着无限广大的自然，许多最伟大的科学家或许都会有在牛顿的名言中所表达的那种特殊感情。他们或许都觉得，他们在自己的工作中就象一个沿着无边的海岸散步自娱的儿童一样，偶尔好玩地捡起了一块以其形状或颜色吸引了他的注意力的鹅卵石。这种谦虚的看法是可以理解的，但它并没有对科学家的工作作出真实而充分的描述。科学家如果不严格地服从自然的事实就不可能达到他的目的。但是这种服从并不是被动的顺从。一切伟大的自然科学家如伽利略、牛顿、麦克斯韦尔、赫尔姆霍兹、普朗克和爱因斯坦，都不是从事单纯的事实搜集工作，而是从事理论性的工作，而这也就意味着创造性的工作。这种自发性和创造性就是一切人类活动的核心所在。它是人的最高力量，同时也标示了我们人类世界与自然界的天然分界线。在语言、宗教、艺术、科学中，人所能做的不过是建造他自己的宇宙 —— 一个使人类经验能够被他所理解和解释、联结和组织、综合化和普遍化的符号的宇宙。
《人 论》
恩斯特·卡西尔著 甘阳译
第十二章 总结与结论
假如在漫长道路的终点回过头来看一下我们的出发点，我们也许会难以断定究竟是否达到了我们的目的。一个文化哲学是从这样的假设出发的：人类文化的世界并不是杂乱纷离的事实之单纯集结。它试图把这些事实理解为一种体系，理解为一个有机的整体。对二种经验的观点或历史的观点来说，搜集人类文化的材料似乎也就足够了。在这里我们感兴趣的是人类生活的广度。我们全神贯注于对种种特殊现象的丰富性和多样性的研究，欣赏着人类本身的千姿百态。但是哲学的分析给自己提出的是一个不同的任务。它的出发点和它的工作前提体现在这种信念上：各种各样表面上四散开的射线都可以被聚集拢来并且引向一个共同的焦点。在这里事实被化为各种形式，而这些形式本身则被假定为具有一种内在的统一。但是我们现在已经能够证明这个基本要点了吗？我们所有个别的分析向我们揭示的事实不是恰恰相反吗？因为我们一直都在强调不同的符号形式 —— 神话、语言、艺术、宗教、历史、科学 —— 的特殊品性和特殊结构。如果牢记这方面的研究，我们或许就会倾向于同意相反的观点 —— 认为人类文化具有不连续性和根本的异质性。
从一种纯粹本体论的或形而上学的观点来看，要驳斥这种观点确实是非常困难的。但是对一种批判哲学来说，问题就不同了。在这里我们没有任何义务去证明人的实体的统一性。人不再被看成是自在地存在着并且可以被它自身所认识的一种单纯的实体。他的统一性被看成是一种功能的统一性。这样一种统一性并不预先假定组成这统一性的各不同成分具有同质性。它不仅承认，甚至要求它的各构成部分具有复杂性和多样性。因为这是辩证的统一，是对立面的和平共处。
赫拉克利特曾说： “ 他们不了解如何相反者相成：对立造成和谐，如弓与六弦琴。 ” 为了论证这样一种和谐，我们不必去证明产生这种和谐的不同力量的统一性或相似性。人类文化的不同形式并不是靠它们本性上的统一性而是靠它们基本任务的一致性而结合在一起的。如果在人类文化中有一种平衡的话，那只能把它看成是一种动态的而不是静态的平衡；它是对立面斗争的结果。这种斗争不排斥 “ 看不见的和谐 ”—— 根据赫拉克利特的说法，它 “ 比看得见的和谐更好。 ”
亚里士多德把人定义为 “ 社会动物 ” 是不够全面的。它给我们的是一个类概念而不是种差。社会性本身并不是人的唯一特性，它也不是人独有的特权。在所谓的动物社会中，在蜜蜂和蚂蚁中间，我们都可以看到明确的劳动分工和极为复杂的社会组织。但是在人这里，我们所看到的不仅是象动物中的那种行动的社会，而且还有一个思想和情感的社会。语言、神话、艺术、宗教、科学就是这种更高级的社会形式的组成部分和构成条件。它们是将我们在有机自然界中所看到的社会生活形式发展到一种新形态 —— 社会意识形态 —— 的手段。人的社会意识依赖于一种双重活动 —— 同一化和区分化。人只有以社会生活为中介才能发现他自己，才能意识到他的个体性。但是对人来说，这种中介并不只是意味着一种外部规定力量。人，象动物一样，服从着社会的各种法则，但是除此以外，他还能积极地参与创造和改变社会生活形式的活动。在人类社会的原始阶段，这种能动性还几乎觉察不到，它好象还处在最低水准上。但是人类越发展，这种特征就变得越来越明显和越来越重要了。这种缓慢的发展过程几乎可以在人类文化的所有形式中看到。
众所周知，在动物社会中有许多行为不仅与人的作为不相上下，而且在某些方面是高于人的作为的。人们常常指出，蜜蜂在筑巢时，就象一个出色的几何学家那样达到了最高的准确性