清史稿(上)-第151部分

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凡兹凡兹七术，惟边角相求，有锐钝、大小不能定者，然推步无其题，不备列。此七题中求边角有未尽者，互按得之。主
橢圆橢圆形者，两端径长、两腰径短之圆面。然必其应规，乃可推算。作之之术，任以两点各为心，一点为界，各用一针钉之，围以丝线，末以铅笔代为界之。针引而旋转，即成橢圆形。如图甲己午三点，如法作之，为丑午巳未橢圆，寅丑、寅巳为大半径，寅午、寅未为小半径，寅甲为两心差，己甲为倍两心差。甲午数如寅巳，亦同寅丑，己午如之；二数相和，恆与丑巳同。令午针引至申，甲申、申己长短虽殊，共数不易。甲午同大半径之数如弦，两心差如勾，小半径如股，但知两数，即可以勾股术得不知之一数。若求面积，以平方面率四００００００００为一率，平圆面率三一四一五九二六五为二率，大小径相乘成长方面为三率，求得四率为橢圆面积。若求中率半径，大小半径相乘，平方开之即得。然自甲心出线，离丑右旋，如图至戌，甲丑、甲戌之间，有所割之面积，亦有所当之角度。斋
角积角积相求，爰有四术：主
一曰一曰以角求积，以半径为一率，所知角度正弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为倍两心差之端，垂线如己酉。又以半径为一率，所知角度馀弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为界度积线，引出之线如甲酉，倍两心差之端垂线为勾自乘。以引出之线，与甲戌、己戌和如巳丑大径者相加为股弦和，除之得较。和、较相加折半为己戌弦，与大径相减为甲戌线。又以半径为一率，所知角正弦为二率，甲戌线为三率，求得四率为戌亥边。又以小径为一率，大径为二率，戌亥边为三率，求得四率为辰亥边。又以大半径寅辰同寅丑为一率，半径为二率，辰亥边为三率，求得四率为正弦，对表得度。又以半周天一百八十度化秒为一率，半圆周三一四一五九二六为二率，所得度化秒为三率，求得四率为比例弧线。又以半径为一率，大半径为二率，比例弧线为三率，求得四率为辰丑弧线，与大半径相乘折半，为寅辰丑分平圆面积。又以大半径为一率，小半径为二率，分平圆面积为三率，求得四率为寅戌丑分橢圆面积。乃以寅甲两心差与戌亥边相乘折半，与寅戌丑相减，为甲戌、甲丑之间所割面积。此其理具本图及平三角、弧三角，其法至密。古
二曰二曰以积求角，以两心差减大半径馀得甲丑线自乘为一率，中率半径自乘为二率，甲戌、甲丑之间面积为三率，求得四率为中率面积，如甲氐亢。分橢圆面积为三百六十度，取一度之面积为法除之，即得甲戌、甲丑之间所夹角度，此其理为同式形比例。然甲亢与甲氐同长，甲戌则长于甲丑，以所差不多，借为同数。若引戌至心，甲丑甲心所差实多，仍须用前法求甲戌线，借甲戌甲心相近为同数求之。主
三曰三曰借积求积，以所知面积，如图之辛甲丑，用一度之面积为法除之，得面积之度。设其度为角度，于倍两心差之端如庚己丑。以半径为一率，己角正弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为甲子垂线。又以半径为一率，己角馀弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为己子分边。甲子为勾自乘，己子与大径相减馀为股弦和，除之得股弦较。和、较相加折半得甲庚线。又以甲庚线为一率，甲子垂线为二率，半径为三率，求得四率为庚角正弦，得度与己角相加为庚甲丑角。乃用以角求积法，求得庚甲丑面积，与辛甲丑面积相减馀如庚甲辛，又用以积求角法，求得度，与庚甲丑角相加，即得辛甲丑角。主
四曰四曰借角求角，以所知面积如前法取为积度，如丑甲丁。设其度为角度，于橢圆心如丁乙辛。以小半径为一率，大半径为二率，所设角度正切为三率，求得四率为丁乙癸角正切。对表得度，乃于倍两心差之端丙作丙丑线，即命丑丙甲角如癸乙丁之角度，乃将丙丑线引长至寅，使丑寅与甲丑等，则丙寅同大径。又作甲寅线，成甲寅丙三角形，用切线分外角法求得寅角，倍之为甲丙丑形之丑角，与丙角相加为丑甲丁角。此其理癸乙甲角度多于丑甲丁积度，为子乙癸角度。即以此度当前之补算辛甲庚者，盖所差无多也。斋
此四此四术内凡单言半径者，皆八线表一千万之数。图形尚无资料主
　　　　　　
　　　　
　　　　
　　
　　
　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　
　　　　
　　　　　
　　　　
　　　　　
　　


清史稿



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　　　　　　　　　　　　　二十四史系列之一
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　J47
　　　　　　　　　　　　清史稿
　　　　　　　　　　　　柯劭忞等
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　
　　
　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　志二十二
　　时宪三
　　　　　　　　
康熙康熙甲子元法上上卷述立法之原，中卷志七政恆星之顺轨，下卷志诸曜相距之数。知
日躔日躔立法之原：古
一，一，求南北真线以正面位。用方案极平，作圜数层，植表于圜心取日影。识表末影切圜上者，视左右两点同在一圜联为直线，即正东西；取东西线正中向圜心作垂线，即正南北。于京师以罗针较之，偏东四度馀。乾隆十七年改为二度三十分。古
一，一，测北极高度以定天体。于冬至前后，用仪器测勾陈大星出地之度，酉时此星在北极之上，候其渐转而高，至不复高而止。卯时此星在北极之下，候其渐转而低，至不复低而止。以最高最低之度折中取之，为北极高度。恆星无地半径差，勾陈距地又高，蒙气差亦微，其数确准。以此测得申暎Т涸氨奔�高三十九度五十九分三十秒。斋
一，一，求地半径差以验地心实高、地面视高之不同。康熙五十四年五月甲子午正，在申暎Т涸安獾锰�阳高七十三度一十六分零二十三微，同时于广东广州府测得太阳高九十度零六分二十一秒四十八微。申暎Т涸俺嗟谰嗵於ト�十九度五十九分三十秒，广州府赤道距天顶二十三度十分，偏西三度三十三分。时夏至后八日，日躔最高，用平三角形推得地半径与太阳距地心比例，如一与一千一百六十二。又康熙五十五年三月丙申午正，在申暎Т涸安獾锰�阳高五十三度零三分三十八秒一十微，同时于广东广州府测得太阳高六十九度五十四分零八秒三十六微。时春分后八日，日躔中距，推得地半径与太阳距地心比例，如一与一千一百四十二。乃以太阳最高与本天半径比例数一０一七九二０八与地半径比例数一一六二之比，为太阳最卑与本天半径比例数九八二０七九二与地半径比例之比，得一千一百二十一。既得三限距地心之远，用平三角形逐度皆推得地半径差。古
一，一，求黄赤距纬以正黄道。康熙五十三年，于申暎Т涸袄鄄庀闹廖缯�太阳高度，得视高七十三度二十九分十馀秒。加地半径差五十秒，得实高七十三度三十分。减去本地赤道高五十度零三十秒，馀二十三度二十九分三十秒，为黄赤大距。用弧三角形逐度皆推得距纬。古
一，一，求清蒙气差以验地中游气映小为大、升卑为高之数。明万历间，西人第谷于其国北极出地五十五度有奇，测得地平上最大差三十四分。自地平以上，其差渐少，至四十五度，其差五秒，更高无差。其测算之法，如太阳视高十度三十四分四十二秒，距正午八十三度，于时日躔降娄宫三度三十六分，距赤道北一度二十六分。北极距天顶五十度零三十秒，用距正午、距赤道北、北极距天顶三度，作弧三角形，求得太阳实高十度二十七分五十三秒。与视高相减，又加地半径差二分五十七秒，得九分四十六秒，为地平上十度三十五分之蒙气差。本法仍之。知
一，一，测岁实以定平行。康熙五十四年二月癸未午正，于申暎Т涸安獾锰�阳高五十度零三十二秒三十五微，加地半径差一分五十六秒零五微，得实高五十度零二分二十八秒四十微。此所加地半径差，仍新法算书旧数加之，其实地半径与太阳距地心比例，高、卑、中距三限，次年始定，覆推无异，故不改也。至求地半径差，取春分及夏至后八日，亦仍旧算。其实最高之限，累日测得，不在预定。夏至中距之限既未定，岁实亦转由最卑而得其准。最高最卑之比例，则在交食也。其广州府偏西度，盖先测月食时刻得之。与赤道高五十度零三十秒相减，馀一分五十八秒四十微，为太阳在赤道北之纬度。知春分时在午正前，以此纬度及黄赤大距作弧三角形，推得黄道度四分五十七秒四十三微，为太阳过春分经度。次日午正，复测得纬度，推得太阳过春分一度零四分零六秒零三微，两过春分度相减馀为一日之行五十九分零八秒二十微，比例得本日春分在巳初三刻十四分十秒四十八微。又康熙五十五年二月戊子午正，于申暎Т涸安獾锰�阳高四十九度五十四分四十九秒五十一微，依法求之，得本日春分在申初三刻二分五十五秒四十八微。总计两春分相距三百六十五日五时三刻三分四十五秒，为岁实；为法，除天周，得每日平行。主
一，一，求两心差及最高所在以考盈缩。康熙五十六年二至后，申暎Т涸爸鹑詹馕缯�太阳高度，求其经度，各用本日次日比测之实行。推得五月甲戌辰正一刻零四十秒四十五微交未宫七度，乙亥巳初一刻十四分五十七秒二十七微交未宫八度，十一月丁丑子正一刻一十二分五十七秒四十一微交丑宫七度，本日夜子初三刻十二分二十七秒四十七微交丑宫八度。用此两数以立法，如图甲为地心，即宗动天心，乙丙丁戊为黄道，与宗动天同心，乙为夏至，丙为秋分，丁为冬至，戊为春分。又设己点为心，作庚辛壬癸圈，为不同心天，庚为最高，当黄道子，壬为最卑，当黄道丑，寅卯为中距，过己甲两心作庚丑线，则平分本天与黄道各为两半周。夏至乙至冬至丁，引出乙丁线，割不同心天之左半大于半周岁。秋分丙至春分戊，引出丙戊线，割不同心天之下半小于半周岁。今测未宫七度至丑宫七度，历一百八十二日一十六时一十二分一十六秒五十六微，大于半周岁一时一十七分五十四秒二十六微；未宫八度至丑宫八度，历一百八十二日一十四时二十七分三十秒二十微，小于半周岁二十六分五十二秒一十微。即知未宫七度在最高前如辰，八度在最高后如巳，丑宫七度在最卑前如午，八度在最卑后如未。以大小两数相并，与辰巳或午未一度之比，同于大于半周岁之数与辰子或午丑之比，得四十四分三十六秒四十八微，与乙辰或丁午之七度相加，为高卑过二至之度。以最高卑每岁有行分，今合高卑以立算，定为本年中距过秋分之度。又用比例法推得秋分后丙午日巳正一刻十三分四十九秒过中距，若在黄道，应从最高子行九十度至寅，为辰宫七度四十四分三十六秒四十八微。以实测求之，在申不及二度零三分零九秒四十微，检其正切，得三五八四一六为设本天半径一千万之己甲两心差。又本年申暎Т涸安獾么悍治�二月癸巳亥初二刻六分四十七秒，立夏为三月己卯亥正二刻一分三十六秒，秋分为八月庚子申初二刻四分三秒，各计其相距之日，推得平行度以立算。如图甲为地心，乙丙丁戊为黄道，戊为春分，巳为夏至，丙为秋分，庚为冬至，辛为立夏。子丑寅卯为不同心天，壬为天心，春分时太阳在子，立夏在癸，秋分在寅。丑为最高，卯为最卑，求壬甲两心差，并求辛甲乙角，为最高距立夏。取甲辰子平三角形及壬己甲勾股形，求得壬甲为三五八九七七，比前数多一千万分之五百六十一。又求得甲角五十三度三十八分二十五秒五十五微，为最高距立夏，内减夏至距立夏四十五度，得最高过夏至后八度三十八分二十五秒五十五微，皆与前数不合。于是定用于两心差分设本轮、均轮之法。知
一，一，求最高行及本轮、均轮半径以定盈缩。康熙十七年，测得最高在夏至后七度零四分零四秒。五十六年，测得最高在夏至后七度四十三分四十九秒，约得每年东行一分一秒十微。又定本天半径为一千万，用两心差四分之三为本轮半径，其一为均轮半径。如图甲为地心，即本天心，乙丙丁戊为本天，注左右上下为本轮，最小圈为均轮，寅为太阳最高，辰为最卑。本轮心循本天周起冬至右旋为平行，均轮心循本�