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云南地区的全面发展。
赛典赤在科技方面的成就，体现在滇池水利的全面规划和开发中。滇
池位于昆明南面，号称方圆500 余里，是四周群山之水会聚之地。滨湖多
农田，但由于惟一的出水口——海口常因淤积而狭窄，下泄不畅，夏秋多
雨时，常常发生滇池水位急剧上升，淹没滨湖农田的情况。甚至曾造成上
游盘龙江水受滇池水顶托无法下泄，漫过昆明城墙的灾害。元代以前300
多年中，南诏和段氏大理国经常都设有专门机构管理滇池水利。但在大理
国后期，对东南各地基本上失去控制，昆明（当时叫鄯阐）城的重要性降低，
滇池水利无人管理，连年成灾。赛典赤决心对滇池进行大规模整治，一方
面疏通出水通道，一方面整治盘龙江河道，恢复两岸因江水泛滥而废弃的
大片农田。
他经过周密的调查规划，决定将工程分为上下两段进行。上段包括修
筑盘龙江上的松花坝及疏浚固堤工程，从坝旁分出一条支河叫金汁河。这
样就使上游来水分为两支入滇池，可削减水势。同时还可以扩大灌溉范围，
一举两得。下段则主要是疏通海口上下的水道。赛典赤把久在云南的大理
等处巡行劝农使张立道调到昆明，让他负责下段工程。自己负责上段。
滇池上游的盘龙江河道，因为年久失修，沙泥堆积，堤防堕坏，河失
主槽。赛典赤首先组织疏浚河床并加筑堤岸，然后修渠将昆明东北邵甸一
带泉水引入盘龙江。这样既可以恢复因泉水无去路而淹没的土地，又可以
引水用以灌溉。接着兴建了松花坝。松花坝位于昆明城东约9 里处，它将
部分盘龙江水分入东岸长70 多里的金汁河。两河可灌溉农田号称万顷。
在海口地区，张立道率2000 多民夫，疏浚了石龙坝到龙王庙的河道，
挖开海口河中的鸡心、螺壳等几个险滩，疏通了湖水去路，涸出良田万余
顷。到1278 年，滇池工程完工，滇池水利面貌一新。
明清两代，将松花坝由土坝改建为石坝，又增开滇池水系的银汁、宝
象、马料、海源河，形成灌排体系，通称为昆明六河水利。
赛典赤在云南兴水利，办教育，进行行政改革，极大地促进了云南社
会、经济、文化的发展。大约在至元二十四年（1287），马可·波罗来到昆
明（当时叫押赤）。他描述说：（昆明）城市很大而又繁华，城里有许多商人
和手艺人；有很多小麦和米；有一个大湖（滇池），出产世界上最好的鱼，
数量极多，种类也多。反映出赛典赤多年经营的成果。赛典赤去世后，忽
必烈追念赛典赤的贡献，封他为咸阳王，并谕令云南官员一切要按赛典赤
成规，不得擅改。
时至今日，关于咸阳王的传说仍在云南广泛流传，赛典赤的功绩得到
了历史公正的评价。
文献
原始文献
＇1＇屠寄：蒙兀儿史记·赛典赤赡思丁传，北京市中国书店，1984。
＇2＇（明）宋濂等：元史·赛典赤赡思丁传、张立道传，《二十五史》本，
上海古籍出版社，1986。
研究文献
＇3＇柯劭■：新元史·赛典赤赡思丁传、张立道传，《二十五史》本，
开明书店，1935。
＇4＇冯承钧译：马可·波罗行纪，商务印书馆，1935。
＇5＇方国瑜：云南史料目录概说，中华书局，1984。
＇6＇洪源：赛典赤，中华书局，1962。
杨辉
孔国平
杨辉字谦光。南宋钱塘（今杭州）人。生卒年不详，生活于13世
纪。数学。
杨辉曾做过地方官，足迹遍及钱塘、台州（今浙江临海）、苏州等地。
与他同时代的陈几先称赞他“以廉饬己，以儒饰吏”。杨辉特别注意社会
上有关数学的问题，多年从事数学研究和教学工作，是东南一带有名的数
学家和数学教育家。他走到哪里都有人请教数学问题。从1261 年到1275
年的15 年中，他先后完成数学著作5 种21 卷，即《详解九章算法》12 卷
（1261），《日用算法》2 卷（1262），《乘除通变本末》3 卷（1274），《田亩
比类乘除捷法》2 卷（1275）和《续古摘奇算法》2 卷（1275）（其中《详解》
和《日用算法》已非完书）。后三种合称为《杨辉算法》。
关于这五部书的编著过程，杨辉写道：“《九章》为算经之首，辉所
以尊尚此书，留意详解。或者有云：无启蒙之术，初学病之，又以乘除加
减为法，秤斗尺田为问，目之曰《日用算法》，而学者粗知加减归倍之法，
而不知变通之用，遂易代乘代除之术，增续新条，目之曰《乘除通变本末》，
及见中山刘先生益撰《议古根源》，演段锁积，有超古入神之妙，其可不
为发扬，以俾后学，遂集为《田亩算法》。通前共刊四集，自谓斯愿满矣。
一日忽有刘碧涧、丘虚谷携诸家算法奇题及旧刊遗忘之文，求成为集，愿
助工板刊行。遂添摭诸家奇题与夫缮本及可以续古法草总为一集，目之曰
《续古摘奇算法》。”（《续古摘奇算法》序）
以上《乘除通变本末》3 卷，上卷叫《算法通变本末》，中卷叫《乘
除通变算宝》，下卷叫《法算取用本末》，下卷是与史仲荣合撰的。杨辉
数学著作的特点是深入浅出、图文并茂，很适于教学，而且有不少创新。
另外，杨辉的书中还记录了一些古代有价值的数学成果，如贾宪的增乘开
方法和开方作法本源图载于《详解九章算法》的《纂类》，刘益的正负开
方术载于《田亩比类乘除捷法》。杨辉自己的成就，主要表现在以下各方
面。
1．垛积术
杨辉的垛积术，是在沈括隙积术的基础上发展起来的，置于《详解九
章算法》的商功章。他研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体
积公式导出相应的垛积术公式。例如方亭（正四棱台）体积为
h2 2
V = （a ＋ b ＋ ab）
3
其中a 为上底边长，b 为下底边长。
若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a×a 个球组
成，以下各层的长、宽依次各增加1 个球，共有n 层，最下层（即下底）由
b×b 个球组成，杨辉给出求方垛中物体总个数的公式如下：
n22 b …a
S = （a ＋ b ＋ ab ＋ ）
32
比较一下上面两式就会发现，后者与前者的区别在于小括号内多了一项
b …
2a
，故杨辉把这项以外的式子称为“本法”。后者实际是一个二阶等
差级数求和公式，即
2 222
a ＋（a＋1） 2 ＋（a＋2） ＋ 。 ＋（b…1）2＋b =
n（a ＋b 2＋ab＋
b…1）（1）
32
杨辉垛积术中属于级数求和的共有四个，其余三个是
n1
12 ＋ 22 ＋ 32 ＋ 。 ＋ n2 = （n ＋1）（n＋ ）； （2）
32（
1 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 10 ＋ 。
nn ＋ 1）
=
n（n＋1）（n＋2）； （3）
26
a·b ＋（a ＋1）（b ＋1） ＋（a ＋2）（b ＋2） ＋ 。 ＋ （c …1）（d …1） ＋ c·d
nn
= ＇（2b ＋ d）·a ＋ （2d ＋ b）·c＇ ＋ （c …a） （4）
66
除了（4）式与沈括隙积术公式相同外，其他公式均为杨辉独立推出。
2．捷算法与素数
杨辉致力于捷算法的研究，并取得一些成就。例如，《算法通变本末》
中记载着一种叫“重乘”的算法，即把乘数分解为若干因数之积的形式，
然后用因数去乘。杨辉说：“乘位繁者，约为二段，作二次乘之，庶几位
简而易乘，自可无误也。”例如38367×23121，杨辉便把23121 分解为9×7×367，然后再乘38367。
由于捷算法的需要，杨辉注意到一个整数是合数还是素数的问题。他
说：“置价钱（即23121 文）为法，约之。先以九约，又以七约，乃见三百
六十七，更不可约也。”所谓不可约，就是说除了1 和本身外没有其他约
数。显然，杨辉的“不可约”之数即素数。他在这里首次提出素数概念，
又在《法算取用本末》中列出了从201 到300 的素数表，共16 个：
211，223，227，229，233，239，241，251，
257，263，269，271，277，281，283，293。
这实际是201 到300 的全部素数。虽然杨辉对素数的研究远在欧几里
得之后，理论上也不够完整，但他在没有外来影响的情况下注意到这一重
要问题，其思想之深刻是值得称道的。
“求一乘”和“求一除”也是捷算法，是用加减代乘除，通过折、倍
等方法来实现的，“求一”就是变首位为1 的意思。例如237×56，先倍
56，得112，再折237，即
237
= 118。5 ，然后用112乘118。5。
2
在运算方面，杨辉特别重视乘法，他说：“夫习算者，以乘法为主。”
（《详解九章算法》）认为“乘除者，本勾深致远之法”，“因法不独能乘，
而亦能除”（《算法通变本末》）。例如
2746÷25=27。46×4=109。84，
这种以乘代除的方法不仅施于精确计算，也用于近似计算。例如
2746÷1111＝0。2746×9=2。4714。
《田亩比类乘除捷法》中的一些题列出了不同的方法，这些方法有繁
有简，杨辉的意图就在于比较优劣，提倡捷法。
3．纵横图
纵横图是按一定规律排列的数表，也称幻方。一般是n 行n 列，各行
各列的数字之和相等，纵横图有几行，就称为几阶。我国最早的纵横图，
当推汉代“九宫图”（图1）。宋代理学家们把它与《周易》中的“河出图，
洛出书，圣人则之”联系起来，认为九宫图即天生的神物——洛书，是伏
羲画八卦的依据，从而为这些有规律的数字蒙上了一层神秘色彩。
就在这种数字神秘主义气氛笼罩社会的时候，杨辉却在孜孜不倦地探
索纵横图的构成规律。他以自己的研究成果，否定了纵横图的神秘性。《续
古摘奇算法》上卷的大量纵横图表明，这种图形是有规律可循的。
杨辉首先给出三阶和四阶纵横图的构造方法：“易换术曰，以十六子
依次第作四行排列，先以外四角对换。。后以内四角对换。”这便是构造
四阶纵横图的一种方法（图2）。在“总术”中，杨辉给出构造四阶纵横图
的一般方法。第一步是“求积”，即求出每行或每列的数字之和应为多少。
杨辉把前16 个自然数当作一个等■图1
差数列，用求和公式
n a 1 ＋ an
（）
S =
2
求得S=136，进而求得每行之数34。第二步是“求等”，即设法使每行、
每列的数字之和等于34。“求等术曰：以子数分两行
一二三四五六七八
九十十一十二十三十四十五十六
而二子皆等（十七），又分为四行，而横行先等（三十四），乃不易之数。却
以此编排直行之数，使皆如元求一行之积（三十四）而止”。依此术，杨辉
构造数字方阵如图3，然后再“编排直行之数”。杨辉说：“绳墨既定，
则不患数之不及也。”意思是掌握了规律，就不难作出纵横图。
12 5 16 1
11 6 15 2
10 7 14 3
9 8 13 4
图3
1 20 21 40 41 60 61 80 81 100
99 82 79 62 59 42 39 22 19 2
3 18 23 38 43 58 63 78 83 98
97 84 77 64 57 44 37 24 17 4
5 16 25 36 45 56 65 76 85 96
95 86 75 66 55 46 35 26 15 6
14 7 34 27 54 47 74 67 94 87
88 93 68 73 48 53 28 33 8 13
12 9 32 29 52 49 72 69 92 89
91 90 71 70 51 50 31 30 11 10
图4 百子图
四阶以上纵横图，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、
六阶乃至十阶纵横图全都准确无误，可见他已经掌握了高阶纵横图的构成
规律。他的十阶纵横图叫百子图（图4），各行各列的数字之和均为505。
杨辉的纵横图对后世深有影响，明代程大位、清代方中通、张潮、保
其寿等，都曾在此基础上进一步研究纵横图。
4．杨辉定理
在《详解九章算法》及《续古摘奇算法》中，杨辉讨论了勾股容方问
题，并在后书中提出一条重要的面积定理：“直田之长名股，其阔名勾，
于两隅角斜界一线，其名弦。弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股
路如下：因为
△ABC=△CDA
（指面积相等，下同），
又因为
△AIE=△EHA，
△EFC=△CGE，
所以
△ABC…△AIE…△EFC
=△CDA…△EHA…△CGE，
此定理反映了我国传统几何的
一条重要原理——出入相补。实际上，△AIE 可以移置△EHA 处，△EFC
也可以移置△CGE 处，所以等积。类似的思想在刘徽《海岛算经》及赵爽
“日高术”中已反映出来。但首次以文字形式明确给出这一定理的是杨辉，
因此可称之为杨辉定理，它在平面几何中有广泛的应用。实际上，《海岛
算经》中的各种测量公式都可由杨辉定理推出。
■图5
5．因法推类