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有主方，一方必有主药”，从而批评了“自宋以还，无非阴阳气血，寒热
补泻，诸肤廓笼统之谈”。
在用药方面，徐氏反对机械套用“药物归经”说，认为“以某药为能
治某经之病则可，以某药为独治某经则不可；谓某经之病当用某药则可；
谓某药不复入他经则不可”。“不知经络而用药，其失也泛，必无捷效；
执经络而用药，其失也泥，反能致害”，凡此，均切合实用的原则。此外，
他还主张用药宜清淡，治病方法不应单用汤药，反对标新立异，应以针、
砭、熨、引、按摩诸法配合，这在临床上有积极意义。
徐氏也是医学史上敢于直言不讳评述古代医家得失的第一人。但徐氏
过于尊经崇古，如其说“言必本于圣经，治必遵乎古法”等，在一定程度
上限制了他本身学术的发展，也影响了当时医学的发展，他迷信鬼神、占
卜等，并且崇信服石说亦为后世所诟评。徐氏所撰医学著作有7 种：《难
经经释》2 卷（1727），《神农本草经百种录》1 卷（1736），《医贯砭》
2 卷（1741），《医学源流论》2 卷（1757），《伤寒论类方》1 卷（1759），
《兰台轨范》 8 卷（1764），《慎疾刍言》（又名《医砭》）1 卷（1769）。
评注前人的著述则有《外科正宗》、《评叶氏临证指南》；徐氏经治案例，
由后人整理而成的医案著作1 种，即《洄溪医案》；另有未刊稿本《管见
集》。后人辑刊或托名为徐氏撰著的医书如《内经诠释》，《杂病证治》，
《女科医案》等共16 种。医学丛书则有徐氏医书三种、六种、八种、十六
种等八种（其中包括1988 年人民卫生出版社出版之《徐大椿医书全集》点
校本）。非医学著作有《乐府传声》、《道德经》等10 种。其中文学著作
《洄溪道情》颇受读者称誉；而其《时文叹》一篇，揭露八股文的弊端，
亦为世所赞赏。
文献
原始文献
＇1＇（清）徐大椿医书全集，人民卫生出版社，1988。
研究文献
＇2＇谢诵穆：徐灵胎评传，现代中医，1934，1—6。
＇3＇宋大仁：徐灵胎先生象传（附年表），江苏中医，1958，1，第27—28 页。
＇4＇宋大仁：清代伟大医学家徐灵胎的一生，江苏中医，1963，11，第
30—34 页。
＇5＇姜春华：对徐灵胎学术思想的评价，上海中医药杂志，1964，3，
第36—41 页。
＇6＇杨春波：试论徐大椿的医学成就，哈尔滨中医，1964，6，第38—
44 页。
＇7＇龚士澄：徐大椿学术初探，辽宁中医杂志，1980，9，第22—25
页。
＇8＇黄煌：针砭时弊，发皇古义——徐灵胎医学思想剖析，上海中医药
杂志，1984，4，第38—39 页。
＇9＇邹正和：徐大椿著作真伪考，中医杂志，1985，4，第76—77 页。
明安图
何绍庚
明安图字静庵。蒙古正白旗人。生年不详；约清乾隆二十九年（1764
年）卒。数学、天文学。
明安图，蒙古族，少年时为官学生，后被选拔进入钦天监专门学习天
文、历法和数学，受到良好的科学训练。当时康熙皇帝热衷于学习和研究
科学技术，经常请传教士介绍西方科学知识，有时还亲自向皇家子弟讲授。
因此，明安图也常有机会以官学生身分入宫听讲。他的学生陈际新曾说道：
“明静庵先生自童年亲受数学于圣祖仁皇帝，至老不倦。”他勤奋学习，
刻苦钻研，成绩突出，因而得到康熙皇帝的赏识。康熙五十一年（1712）
夏，康熙偕皇太后至承德避暑山庄避暑，有一批著名科学家（如梅■成、
陈厚耀、何国宗等）随行，明安图是随行人员中唯一列名的官学生。在驻
地，君臣之间如同师生一样就天文数学问题进行问答。官学生结业后，他
毕生从事天文工作，曾任钦天监时宪科五官正近 40 年，主要负责推算日
月五星运行，编订时宪书（民用历书），以及主持时宪书满蒙文本的翻译
等。乾隆十七年（1752）擢兵部郎中留任钦天监五官正。乾隆二十四年
（1759），升任钦天监监正。乾隆二十八年十一月（1763 年12 月），钦
天监进呈皇帝批阅的题本不见明安图署名，可能在此前后，他已因病离职。
明安图在数学上有很高造诣，特别是对三角函数和反三角函数的幂级
数展开式问题进行过深入研究，做出了杰出贡献，著有《割圆密率捷法》
一书。这部数学专著共4 卷：卷一“步法”，罗列出所得到的各无穷级数
公式；卷二“用法”，系各公式在数学和天文学上的应用；卷三、四为“法
解”，阐述各公式的证明方法。他的成果可用现代数学符号表示成下列九
个公式：
（1）圆径求周
ì 12 12 ·32 12 ·32 ·52 ü
π = 31 ＋＋ 2 ＋ 3 ＋ 。；
。 4·3！ 4 ·5！ 4 ·7！ t
■图1 弦矢关系示意图
（2）弧背求正弦图1 弦矢关系示意图
357
r sin
a = a …a ＋ a …a ＋ 。；
r3！r2 5！r4 7！r6
（3）弧背求正矢
24 6
rvers
a = a …a ＋ a …。；
r2！r4！r3 6！r5
（4）弧背求通弦
（2a）3 （2a）5 （2a）7
c = 2a …2 ＋ 24 …36 ＋ 。；
4·3！r4 ·5！r4 ·7！r
（5）弧背求矢
（2a）2 （2a）4 （2a）6
b =…23 ＋ 35 …。；
4·2！r4 ·4！r4 ·6！r
（6）通弦求弧背
c3 32c5 32 ·52 c7
2a = c ＋＋＋ ＋ 。；
4·3！r2 42 ·5！r4 43 ·7！r6
（7）正弦求弧背
r
a）3 12 ·32 · r
a5
（sin （sin ）
a = r sin
a ＋ 4 ＋ r ＋ 。；
r3！r2 5！r4
（8）正矢求弧背
ì 2rversa
12（2rversa）2 12 ·22 （2rvers
a
） 3 ü
a2 = 2írr ＋ r ＋ 4 ＋ 。；
。 2！ 4！ 6！r 。
（9）矢求弧背
（2a） 2 = 2
ì
r·
8b
＋
（8b）2
＋
12 ·22 ·（8b）3
＋ y
ü
í 。。
。 2！ 4·4！ 42 ·6！r t
如图1，式中r 为圆半径，c 为AD 弦长，a 为AC 弧长，2a 为AD 弧长，b
为BC 中矢长。在公式（1）至（9）中，主要的是五个公式，即（1），
（ ），（ ），（ ），（ ）。如分别以弧度378 x=
a 或x = sin
a ，x = 2vers
a
2
rr r
表示，则公式（2），（3），（7），（8）即可化为现在通用的三角函数
幂级数展开式：
sinx = x …1
x3 ＋ 1
x5 …1
x7 ＋ 。，
3！ 5！ 7！
versx = 1
x2 …1
x4 ＋ 1
x6 …。，
2！ 4！ 6！
1 312 ·32
512 ·32 ·52
7
arcsinx = 1 ＋ x ＋ x ＋ x ＋ 。，
3！ 5！ 7！
ì 2 22 222 ü
（arcvers ） = 2x ＋ x ＋ x ＋ x ＋y
x2 í
1 121 ·2 31 ·2 ·34 。。
2 。2！ 4！ 6！ 8！ t
在清代相当长的一段时间里，上述九个公式曾被称为“杜氏九术”，
这是不恰当的。其中原委几经周折才为人们所了解。实际上，π的无穷级
数表达式，即公式（1），是牛顿发现的，正弦和正矢的幂级数展开式，即
公式（2）和（3）是英国数学家J。格雷戈里（Gregory，1638—1675）发
现的。清初，法国传教士杜德美（P。Ja…rtoux，1668—1720）来华，把这
三个公式介绍给中国学者。著名数学家梅文鼎之孙梅■成将其收入《梅氏
丛书辑要》的附录《赤水遗珍》，并分别称为“求周径密率捷法”和“求
弦矢捷法”。这三个公式是西方数学中较新的成果，它以与中国传统数学
截然不同的形式和内容，为计算圆周率和三角函数值提供了新的算法，向
中国数学界展示了一个新的广阔的领域，因而受到许多中国数学家的欢迎
和重视。另一方面，杜德美虽然传入了这些公式，但他并没有给出证明，
没有介绍公式的推导方法，所以给当时的数学工作者掌握和运用这些知识
带来一定的困难。显而易见，只有几个孤零零的公式，并不能使人信服，
更不能反映这种方法的实质，正如有人所说的“特未详立法之根，学者恒
苦莫抉其旨”，甚至还有人产生了怀疑和误解，指责这种方法只不过是“巧
合”。当时一些优秀数学家出于理论和实践的需要，并不满足于盲目引用
片断的公式，而是想方设法积极了解这些公式成立的道理，探索它们的证
明方法，力求真正理解外国的先进成果，使之变成自己手中运用自如的工
具，这也正是明安图深入研究无穷级数问题的起因。
明安图青年时代曾与梅■成一起工作，并且很可能与杜德美有所接
触，因此他很早就知道了杜德美传入的三个公式。在钦天监的繁忙工作之
余，他致力于研究这些公式的证明方法。经过30 余年的不懈努力，他融会
贯通了中国传统数学知识与刚刚传入的西方数学知识，圆满地证明了公式
（1），（2），（3），同时还得到另外六个公式。明安图在推导这些公式
的过程中，创立了割圆连比例法和级数回求法这两种重要的数学方法。割
圆连比例法的中心思想是把任意弧n 等分，根据相似三角形对应边成■比
例的关系，得出一系列比例关系式，求出相应折线的长度，然后用折线逼
近圆弧，从折线与弦矢的关系导出弧与弦矢的关系（见图2）。具体运算
的着眼点则在于推算无穷级数各项系数。级数回求相当于级数反演，是求
反函数展开式的一种有效方法。他的工作在数学原理方面体现了曲直互通
思想，及从有限到无穷的认识上的飞跃。他所独立得到的六个公式中，有
些也是比较先进的。例如，牛顿在1666 年通过无穷级数逐项积分的方法，
推导出arcsinx 的幂级数展开式，而在1669 年又用级数回求法给出这一公
式。日本数学家建部贤弘（KatahiroTakebe），在1722 年采用与明安图不
同的分析方法得到了同一公式。关于反正矢平方的幂级数展开式，是1737
年L。欧拉（Euler）在给伯努利（Bernoulli）的一封信中提出的，但直到
1817 年这一公式才由另外的人公开发表。明安图发现公式（7），在时间
上要比牛顿和建部贤弘晚些，发现公式（8），则几乎与欧拉同时，而正式
发表的时间却要早些。
图2 割圆连比例法示意图
明安图的数学成就总结在《割圆密率捷法》一书中。这部书在他生前
只完成一部分，他在晚年病危时，将手稿交给小儿子明新，并转嘱他的学
生陈际新说：“此‘割圆密率捷法’也。内圆径求周，弧背求弦，求矢三
法，本泰西杜德美氏所著，实古今所未有也。亟欲公诸同志，惜仅有其法
而未详其义，恐人有金针不度之疑。予积解有年，未能卒业。汝与同学者
务续成之，则予志也。”后来，陈际新、张肱和明新遵从明安图的遗愿和
他生前的指点，于乾隆三十九年（1774）将《割圆密率捷法》整理成书。
然而遗憾的是，这部书稿却为“某氏所秘，未经刊布”，它的收藏者张敦
仁甚至不肯出示给著名数学家汪莱，因而未能及时发挥应有的作用。后来
汪莱和董■诚等虽然看到原稿抄本，但却笼统地冠以“杜氏九术”的名称。
直到1821 年罗士琳从戴敦元处影抄原本，1839 年岑建功将其刊刻行世，
人们才了解到这是明安图的成果，《割圆密率捷法》才得以广泛流传。在
中国数学史上，清代的无穷级数研究是一个相当活跃的领域，可说是人才
辈出，成果累累。溯本求源，明安图的创始之功无疑应该给予充分的肯定。
从研究内容和数学方法上来说，诸如董■诚、项名达、戴煦、徐有壬、李
善兰等数学名家，都受到了他的影响。中国学者在这一领域运用具有传统
数学特色的方法，基本上解决了三角函数、对数等初等函数的幂级数展开
式问题，其中包含了某些微积分思想的萌芽，从而为顺利接受R。笛卡儿
（Desca…rtes）、牛顿、G。W。莱布尼茨（Leibniz）创立的解析几何、微积
分等近代数学知识，推动中国数学从常量数学到变量数学，从初等数学到
高等数学的发展，奠定了重要的思想基础。我国著名数学史家李俨曾指出：
“明安图以三十年之精思，始撰成《割圆密率捷法》，以解析九术，并由
连比例三角形入手。此数与形的结合，堪与笛卡儿创解析几何媲美。”日
本数学史家三上义夫亦曾指出：“圆理发达为最紧要之事件，可比西洋定
积分，其算法则始于所谓杜氏九术。”
在天文学方面，明安图参加编纂了三部重要的天文学著作。康熙五十
二年（1712），康�