按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
写了又一篇名为“弧三角形”的论文，连同旧著《递兼数理》合为一册，
“以广赠算师”，这就是《衡斋算学》第四册。
嘉庆六年（1801），汪莱由歙县至扬州，在翰林秦恩复家教馆。秦氏
所居五笥仙馆藏书颇丰，他家中也常有学者名流聚会或造访，汪莱在此读
到了宋元算家秦九韶、李冶的著作，并得以与张敦仁、江藩、钱献之等学
者相识。在与江藩共同讨论秦、李著作的基础上，撰成有关方程根之个数
的《衡斋算学》第五册。同年秋天，汪莱离开扬州赴六安，途中写成论述
弧矢关系的《衡斋算学》第六册。年底，汪延麟在扬州为他刊刻了六卷本
的《衡斋算学》。
汪莱与李锐的第一次会面大约在嘉庆五年（1800）。汪莱于《衡斋算
学》第五册书成后，曾分别送寄张敦仁和焦循，张氏“疑之，谓其过苦”；
焦氏则将书稿示于李锐，李氏于嘉庆七年（1802）读到后叹为“是卷穷幽
极微，真算氏之最也”，遂作跋文一篇，文中将汪莱书中的诸例予以概括，
并称“计余与孝婴别已二载”。嘉庆八年（1803），汪莱自六安返扬州，
风闻李锐对其第五册算书有所讥评，遂到焦循家中问询，焦乃出示李锐所
撰跋文，汪莱阅后欣然说道：“尚之固不我非也。”同时汪莱也指出了李
锐所概括的第二例尚有语病。嘉庆九年（1804），张敦仁官任扬州知府，
李锐应召来当他的幕宾。其时注莱、焦循、凌廷堪、沈钦裴等人都在扬州，
彼此切磋学问，十分热闹。汪莱则进一步钻研代数方程理论，撰成《衡斋
算学》第七册。至此，汪莱的主要数学著作都已完成。
嘉庆十年（1805），夏銮来到歙县任新安训导，到任后四处访贤。这
年夏天，汪莱回乡，听说夏銮来找过他，立即前往谒见，两人“一见称莫
逆，与语终日”，汪莱告辞后夏銮“目送之，曰‘此天下奇才也。’”一
月后，汪莱经夏銮举荐参加岁试，成为廪生，后又被举荐为优行督学。夏
銮又先后令门生胡培■、长子夏■、四子夏燮向汪莱学习数学。同年，汪
莱在歙县读到阐述明代大统历法的《大统锦灵经》，作读书记一篇。嘉庆
十一年（1806），汪莱再次去扬州课馆，当时焦循也在城中设馆，两人经
常往来讨论数学问题。这年夏天，两江总督奉旨测量黄河新、旧入海口之
商程，遂请汪莱主持完成了测算任务。嘉庆十二年（1807），汪莱在歙县
参加考试，以优行第一的成绩考取了八旗官学教习。
到北京后，汪莱被选入国史馆参与纂修天文、时宪二志的工作。在此
期间，他曾读到明安图的遗稿《割圆密率捷法》，对数年前自己在第六册
算书中对杜德美（P。Jartoux，1668—1720）术的指摘有所检讨。国史馆的
任务完成后，汪莱被派往石埭县任训导。
嘉庆十六年（1811），汪莱任石埭教谕，同年将其第七册算书单独付
梓。诸生员中有喜爱数学者，他都予以教诲。在石埭任上三年，汪莱过着
廉洁克己的生活。与外界学术交往的中断和自己的数学成果不能为当时所
谓考据学家们所承认，使他心情十分沉郁，加上贫病袭扰，最终卒于任上。
汪莱死后，家中萧然，囊无余资，石埭百姓出资送其归葬故里，埋于歙县
梅岭之将军打坐坞。
汪莱去世时，长子光恒才3 岁，次子光谦不足周月。汪光恒长大后有
志继承父学，撰有《小恒算说》4 卷，可惜早卒。
汪莱生于清中乾嘉时代，其时学术风气以复古为宗旨，以考据相标榜。
汪莱的家乡歙县，是清代皖派朴学的重要阵地。汪莱早年慕其同乡江永、
戴震、金榜、程瑶田之学，“力通径史百家及推步历算之术”。及至青壮
年，又长年寄居于苏、扬等当时的经济、文化中心，得以接触焦循、李锐
等吴派朴学在天文、数学领域的杰出代表。皖、吴两派朴学大师虽然都提
倡籍历算以明经，但在对待当时所谓西学的态度上是有所区别的。这一点，
可以从钱大昕致戴震的一封信中看出端倪，信中直言不讳地批评戴震的老
师江永“大率祖欧罗巴之说”，最终“则为西人所用而已”，进而诘问戴
震：“当今学贯天下者莫如足下，而独推江无异辞，岂少习于江而特为之
延誉耶？”在清朝政府对外采取闭关政策，对内大兴文字狱的政治气侯下，
这一指谪就显得更加咄咄逼人。汪莱本是一介寒儒，对于超出学术之外的
纷争没有兴趣；但是由于他的出身和他在著作中习用所谓西学的数学表达
方式，他的数学成就往往得不到时人的理解与赏识。
汪莱生前，《衡斋算学》已出过三种刊本，但是都不是足本。他去世
后，夏銮十分关心他的遗作，嘱咐长子夏■与胡培■加以搜集整理，后成
《衡斋遗书》9 卷，但未能付梓。咸丰四年（1854），夏銮四子夏燮调任
鄱阳（今江西波阳）知县，即从胡培■后人处访得《衡斋遗书》稿本，连
同《衡斋算学》7 册一道，刊成《衡斋算学遗书》合刻本，汪莱的孙子汪
廷栋参加了该书的校勘工作。《衡斋遗书》包括“覆载通几”1 卷，“参
两算经”1 卷，“乐律逢源”l 卷，“考定磬氏倨勾令鼓旁线中悬而悬居线
右解”l 卷、“校正九章算术及戴氏订讹”1 卷、“今有录”1 卷，以及《衡
斋文集》3 卷；《衡斋文集》中也收有多篇关于天文或数学的论文。
《衡斋算学》第一册和第四册之前半部分都是讨论球面三角形解法
的。当时传入的三角学，皆以与圆有关的线段来定义三角函数，所以又称
“割圆八线”。这种定义应用于钝角或更大的角度，势必引起符号判断或
一值对应多角的混乱，这在当时是一个相当麻烦的问题。梅文鼎、江永、
戴震、焦循都曾著书讨论，然而系统的论述却始于汪莱。在第一册算书中，
汪莱罗列了“弧角比例锐钝大小知不知”33 条、“正弧三角锐钝大小相从”
9 条以及“平三角形边角比例锐钝知不知”5 条，它们都是关于判断三角形
是否存在唯一解的问题。举例来说，汪莱称：“原所知角锐，对边小，又
所知角锐，审又所知角小于原所知角则所求对边小，若大于原所知角则不
能定。”就是说，已知球面三角形ABC 中的两个锐角A、B 以及一对边a，
求另一对边b。若B＜A，则b＜a 且唯一确定；若B＞A，则b＞a 但不唯一
确定，这就是“不知”或“不能定”。第四册算书的前半部分罗列出“弧
三角形有无定限”40 条，则全是仅有一解的球面三角问题。其中有些条目
不包括在第一册算书之内，例如他论述了球面三角形的以下性质：若a＋b＞π，则c＜2π…（a＋b）；若a＋b＜π，则c＜（a＋b）；c＞｜a—b｜等等。
除此之外，第一册算书还专门论述了解球面三角形的“垂弧法”、“次形
法”和“以量代算法”，这些内容基本上都是对梅文鼎《弧三角举要》的
进一步阐释；但是汪莱的“量角度新法”利用极三角实现球面投影图内半
周角度的“以量代算”，系对梅氏《环中黍尺》中球面三角图解法的一个
发展。
《衡斋算学》第二册专门讨论已知勾股积与勾弦和求其他元素的勾股
和较术问题。梅■成在《数理精蕴》和《增删算法统宗》中曾提出过如下
方法：设勾股形面积为A，勾弦和为K，则解三次方程
x3 …K
x2 ＋ 4A2
= 0，
2 2K
得x 为勾。但是汪莱认为此题应有两个答案，“若问者暗执一形，则对者
交盲两数”，遂另创“有两积相等、两勾弦和相等，求两勾股形各数”一
法，其法须解三次方程
3 2 （4A）2
y ＋ Ky …= 0，
K
得其正根y 为两勾弦较的几何平均数，再解二次方程
z2 …（K …） ＋ y2
yz = 0，
得二正根就是两个勾弦较。对于这一结果，当时的一些学者不能理解，认
为汪莱的算法不如梅■成的简捷。其实这一工作中已蕴涵着对高次方程正
根个数的探索，它与第一、四册算书中对球面三角形“知不知”的讨论一
起，构成了汪莱方程论研究的先导。
汪莱最重要的数学贡献是他在方程论方面的工作。在研读秦九韶、李
冶算书的时候，汪莱发现其中有些算题不只有一个解，而秦、李专以一数
为答案，是“以不可知为知”，于是著《衡斋算学》第五册，罗列出三次
以下各类方程共96 个，逐一考察其“知不知”。这里的“知”与“不知”，
与第一册算书一脉相承，即指方程是否仅有一个正根。汪莱所使用的术语，
则沿用《数理精蕴》所介绍的“借根方法”，例如，他称：“有几真数，
多几根积，与几二乘方积相等。。可知”，即是说方程
ax 3 …cx …d = 0
仅有一个正根；又称：“有几真数，多几二乘方积，与几根积相等。。不
可知”，即是说方程
ax 3 …cx ＋ d = 0 不是仅有一个正根。这一工作后来启发了李锐对方程论的兴趣，汪、李二人在方程论领域的讨论极大地丰富了清代代数学研究的内容。在第五册算书中，汪莱还就三次方程
3
…＋ d = 0
讨论了根与系数的关系。他指出（ax） ，该方（cx） 程如果有三个正根x1，x2 和X3，则
bc
x ＋ x ＋ x = ，xx ＋ xx ＋ xx = ，
123 122313
aa
xx x = da
，
12 3
这是F。韦达（Viéte）定理的一个特例。在《衡斋算学》第七册中，汪莱
进一步钻研代数方程论，他首先指出：如果高次方程可以分解成若干个一
次方程，那么这些一次方程的正根就是原方程的正根。其次，他又专门讨
论三项方程
xm=pxn＋q=0（m＞n 且均为正整数；p；q 为正数）
存在正根的充分条件，他在书中列举了18 个例子，由中可总结出上述
方程有正根的条件为
q
m n
m
np
m
n
￡ m n
… （ ） …
（ ）
r · 。
《衡斋算学》第三、六册，分别讨论“有全弧通弦求五分之一弧通弦”
和“有全弧通弦求三分之一弧通弦”，即已知半径和弦长，求该弦所对应
弧的部分之弦长问题。设以r，a 分别表示半径、弦长，a5 和a3 则分别表
示“五分之一弧通弦”和“三分之一弧通弦”，汪莱证得
1
5 5
3 4 5
5
3
2 3
3 3
2 a
a
r
a
a
r
a a
a
r
= ＋ … 和 = … ，
当时汪莱尚未见到明安图的《割圆密率捷法》，因此矜为创获；及至
见到明氏遗稿抄本，遂有悔少作之意。但汪莱所使用的几何方法，实为董
方立《割圆连比例图解》、项名达《象数一原》等书推求分弧通弦与全弧
通弦关系之工作的前驱。
《衡斋算学》第四册之后半部分名为“递兼数理”；“递兼”就是组
合。中国古代数学中虽然不乏组合学的思想和材料，但是明确提出类似于
今日的组合之定义并对组合性质予以讨论的则是汪莱的这篇“递兼数理”。
他在开篇堂而皇之地宣称：“递兼之数，古所未发，今定推求之则。”他
所推求的重要组合公式有：
c
c c
c
m
n m n
m i
n
i
m
m n
m m
n
m n
= …
=
=
…
=
…
。 2 1
1
，
，
！
！ ！
，
（ ）
在论证最后一个公式时，汪莱借用了传统的垛积知识，试以Cm为例，
2
他说：“以一物为主而兼它物得若干数，至以又一物为主而兼它物即不复
兼先为主之物，故所得必少一数，由此递少遂成三角堆形。”就是说：从
m 个元素中每次取2 个的组合数，可以看作先确定1 个元素后将其与其余
元素相配，得组合数为（m…1）；再取第二个元素与不包括第一个元素的其
余元素相配，得组合数（m…o—12）；依此类推，组合数每次递少一数，
故得组合总数为，这就是一个（平）三角堆，即公差为的一阶等差级
数，其和为（ ）。同理， ， ，。， 则分别对应一个
i
i
m
=
…。1 1
1
2
1
m m… …1 C C C m 3
m 4
m n
二乘、三乘、。、（n…1）乘三角堆。一般三角堆的公式，早已为朱世杰所
知；汪莱虽然没有读到未氏的《四元玉鉴》，他在“递兼数理”中也给出
了“三角堆求积通法”，从而建立起了“递兼”与“垛积”这两类组合问
题之间的联系。
汪莱青年时代所著的“叁两算径”，则是中国数学史上第一次系统探
讨非十整进制算术的论文。内中列出了二至九进制的乘法表，以九进制为
例，其相应的乘法口诀为：“八二一七、八三二六、八四三五、八五四四、
八六五三、八七六二、八八