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察使。三十年任云南布政使。咸丰三年（1853）三月任湖南布政使。五年
四月回籍守制，七年服阙。八年十二月任江苏巡抚。十年四月十三日，太
平天国军攻克苏州，徐有壬被杀，谥庄愍。
徐有壬对数学有浓厚的兴趣，与同时代的数学家亦有广泛的交往。居
京期间曾师事钦天监博士同里陈杰并与沈钦裴、董■诚及吴嘉善等人有学
术联系。在湖南期间，于1854 年与丁取忠（1810—1877）相识。回籍守制
期间，于1855 年与戴煦（1805—1860）相识。尤推重李善兰（1811—1882），
两人经常邮递问难讨论数学，并于太平天国攻克苏州前不久邀请李善兰作
其幕宾。徐有壬的数学与天文著作不少。未刊者6 种9 卷，今皆亡佚。计
有《堆垛测圆》3 卷，《圆率通考》1 卷，《四元算式》1 卷，《校正开元
占经九执术》1 卷，《古今积年解源》2 卷，《强弱率通考》1 卷。陆续刊
行者由其侄徐震翰、侄孙徐树勋汇刻为《务民义斋算学》9 种16 卷，是为
成都算学书局本。计有《测圆密率》3 卷，《垛积招差》（又名《造各表
简法》）1 卷，《椭圆正术》1 卷，《椭圆求周术》1 卷，《截球解义》1
卷，《弧三角拾遗》1 卷，《表算日食三差》1 卷，《朔食九服里差》3 卷，
《割圆八线缀术》4 卷。其中最后一种由吴嘉善述草（1862）、左潜（？
—1874）补草（1873）。今传徐氏各书皆未记成书年代，仅可考得第一种
成于1837 年之前，第三、六、七、八种成于1855 年之前，第二种成于1855
年之后，第四、五种成于1857 年之后。
徐有壬的代表作是《割圆八线缀术》4 卷（其中部分结果已见于《测
圆密率》）。该书给出八线互求十二式，大小八线互求十八式，总列于卷
四。自杜德美（P．Jartoux，1668—1720）将π、sinα、versα的展开式
传入中国之后，许多数学家以不同的方法进行了深入的研究并获得了大量
结果。其中有些结果彼此相同。从八线互求的角度来看，杜氏弧求弦矢之
后，明安图（1692？—1763？）首先给出弦矢求弧式，项名达（1789—1850）
首先给出弦求割矢式，李善兰首先给出孤求割线及其反求式。在此基础上，
徐氏给出其余九式，如表1 画√各项（表中杜、明、项、李分别指杜德美、
明安图、项名达、李善兰）。
例如，徐氏给出的切求弦式为
35
r sin a= …1·（rtga）。。
＋ 1·3（rtga） …。。
rtga2 4
求
知
α。。 杜√。。 李杜
sinα。。 明√。。 项项
tgα。。 √。。 √。。 √。。 √。。
secα。。 李√。。 √。。 √。。
versα。。 明√。。 √。。 √。。
2r 2·4r
表 1
α。。 sinα。。 tgα
secα。。 versα
九式的推导过程俱见该书卷二。又，由董■诚的有通弦求倍分弦、有
矢求倍分矢四式可分别导出由sinα求sinnα、sin
α。。
，由versα求vers nα、
n
vers
α。。
四式。在此基础上，徐氏给出大小八线互求十八
n
求
知
sinα
tgα
secα
versα
sinnα
董
√。。
√。。
√。。
a
sin
n
董
√。。
√。。
√。。
表
tgnα
√
√
√
2
a
tg
n
√
√
√
secnα
sec
a
versnα。。 vers
a
n n
√√。。
√√。。
√√。。
董董
式，如表2 画√各项（“董”指董■诚）。例如，徐氏给出小切求大弦式
为
（n 2 ＋ 2） （ n rtga ）3
r sin na = n rtga ）
（ …＋
3！r2
（n4 ＋ 20n2 ＋ 24） （ a）5
＋
5！r4
nrtg …。。
各式推导见该书卷三。徐氏试图求出大小割线互求的其余十式，但未求得
一般规律而不能立术（上表用空格表示）。徐氏称之为缀术的幂级数表示
法是一个创新。缀术取义于“求式者连缀而下”。该法以汉字数目字一、
二、三等等表示率数，以侧书的汉字数目字表示级数各项的分母，以暗码
表示分子，并按固定格式进行四则运算。例如，弦求矢式的缀术式为
■
其中侧书与暗码表示
112 5
2
，
2·4
，
2·42
，
2·43
，
而三、五、七、九分别表示由一率半径r、二率正弦rsinα以连比例四率
法所得三、五、七、九诸率，即
r 2 （sin 4 （sin 6 （sin 8（ sin a） ， r3
a） ， rt
a） ， r7
a） 。
rr rr
故本缀术式为
（sin （sin r （sin a）
rversa= r a）2
＋ r a）4
＋ 2（ sin a）6
＋ 5r 8
＋ 。。
2r 2·4r3 2·42r5 2·43r7
化为现代形式为
sin2 a sin4 a 2 sin6 a 5sin8 a
versa=
2
＋
2·4
＋
2·42 ＋
2·43 ＋ 。。
徐有壬《割圆八线缀术》4 卷是三角函数幂级数展开式传入中国以来
该项研究的一个比较系统的总结。所给八线互求十二式、大小八线互求十
八式，使得三角函数展开式大体完备。所创半符号式的缀术使幂级数的表
示得以简化，在微积分传入中国之前有积极作用并在中国数学史上产生一
定的影响。
文献
原始文献
＇1＇（清）徐有壬：务民义斋算学，成都算学书局刊本，光绪末年。
＇2＇（清）戴望：江苏巡抚徐公行状，见《续碑传集》卷八十六，1910。
＇3＇（清）陆心源：徐庄愍公别传，见《仪顾堂文集》卷十，1898。
＇4＇（清）杨昌■等：浙江忠义录·卷九·徐有壬传，浙江采访局刊本，
1867。
＇5＇（清）郭嵩焘等：湖南褒忠录初稿，外纪一，徐有壬传，湖南褒总
局活字本，1873。
研究文献
＇6＇尔巽：清史稿·卷三九五·徐有壬传，中华书局，1977。
＇7＇（清）诸可宝：畴人传三编·卷四·徐有壬传，商务印书馆，1955。
＇8＇李俨：明清算家的割圆术研究（二十），见《中算史论丛》第3
集，科学出版社，1955。
＇9＇钱宝琮主编：中国数学史，科学出版社，1964，第329 页。
＇10＇沈康身：我国古代球体几何知识的演进，见《科技史文集》第8
辑，上海科学技术出版社，1982。
龚振麟
华觉明
龚振麟江苏长洲（今江苏吴县）人。清嘉庆年间（1796—1820 年）
生；卒年不详。造船及铸炮技术。
龚振麟和林则徐、魏源是同时代人，从政前为长洲县监生，有革新思
想，好研习西学，对西方的算学、火器有一定研究。道光十九年（1839）
任浙江省嘉兴县县丞。1840 年鸦片战争爆发，帝国主义对中国的侵略，激
起了中国人民的坚决抵抗。同年夏天，他奉调到宁波军营监制军械，克尽
职责，多有建树。英军入侵舟山时，龚振麟奉命去甬东，见到英军用蒸汽
机驱动的火轮，他参考林则徐提供的《车轮船图》进行仿制，先用人力驱
动叶轮，在湖中试航成功，后又制成更大的舰只，可在海洋中行驶。1841
年春，林则徐因抗击英军侵略，被清廷革职，令其“带罪立功”。他来到
浙江后，委派龚振麟把只能直击的旧式炮架改成能上下左右改变射击角度
和方位的新式炮车。由于龚振麟平时注重学习科学技术，他监制的新炮车
灵巧坚固，富有成效。1841 年8 月，英军入侵浙江省蛟门地区，清军再次
失利，浙江省遂添设炮局，赶铸新炮，以应急需，仍委派龚振麟监制。
铸造火炮历来是用泥型。泥型制好后需长时间才能干透，从开工到出
炮，需要一个月左右。那年冬天，雨雪连绵，泥型干不了，炮制不出来。
龚振麟就创议用铁模（即铁范）铸造铁炮，在他主持下很快试制成功，大
大加快了制炮的速度。由于铁模铸炮有很多优点，引起许多人的重视，龚
振麟就写了《铸炮铁模图说》一书，于1842 年刊印分发沿海各地区，求得
推广，后由魏源收入他所编著的《海国图志》。
龚振麟在《铸炮铁模图说》中，详细地叙述了铁模铸炮的工艺过程和
技术措施：
（1）首先按铁炮大小，分4—7 节，作出泥炮。
（2）按泥炮节数分制铁模泥型，每节泥型分成两瓣，用车板旋制内面，
使表面光洁，形状规整，然后烘干备用。泥型内放入预制的把手，浇注时
和铁模铸成一体。
（3）用泥型翻铸铁模时，先将炮口那一节倒置在泥制平板上，用泥充
填其中一瓣，烘干后，盖上泥制平板，将型箍紧，浇注后便得到第一节铁
模的一瓣。然后除去填泥，又可如法铸得另一瓣铁模。这样逐节浇注，就
可铸成层层榫合的整套铁模。
（4）用铁模铸造铁炮时，先在模的内表面刷上用细稻壳灰与细砂泥加
水和成的涂料，再涂刷极细煤粉调制的第二层涂料，然后箍紧铁模，烘热、
装配泥芯，浇入铁水。待凝固后，立即脱去铁模，趁炮身还是红热时，清
除毛刺，除净泥芯，得到成品。
中国是世界上最早使用金属型铸造的国家，早在战国时代就用铁范成
批铸造生铁农具和工具。《铸炮铁模图说》所述铸造工艺是在传统金属型
铸造技术的基础上发展、创新，才得以产生的。例如铁模各瓣之间和各节
之间采用的定位方法，就是继承和发展了古代陶范和金属型的榫卯定位工
艺措施。又如铁模把手分铸、采用双层涂料等，也是传统铸造的常规技艺。
龚振麟在《铸炮铁模图说》中，还总结了铁模铸炮的七个优点。其中
讲到铁模的特点是一模多铸，成本低、工时少，“用一工之费而收数百工
之利”，“用匠之省无算”；减少表面清理，镟铣内膛的工作量；铸型不
含水分，少生气孔，用后收藏，维修方便，如果战时紧迫，能很快投产以
应急需。所有这些，都讲得相当真切，符合实际；在一些主要技术问题上，
和现代铸造学对金属型的认识是一致的。用黑色金属型铸造重数百斤至数
千斤的大型铸铁件，困难很多，即使在现代亦非易事。龚振麟首创铁模铸
炮，无疑是一个出色的技术成就。他所撰写的《铸炮铁模图说》一书堪称
世界上最早系统论述金属型铸造的专著，只是由于清廷的腐败落后，这一
技术才没能得到进一步的应用和提高。龚振麟的爱国主义思想和创新精神
是值得后人敬慕和效仿的。
文献
＇1＇（清）魏源：海国图志，1847。
＇2＇华觉明：关于金属型的扎记三则·龚振麟和《铸炮铁模图说》，见
《中国冶铸史论集》，文物出版社，1986。
戴煦
李兆华
戴煦字鄂士，号鹤墅，又号仲乙。浙江钱塘（今杭州）人。清嘉庆
十年五月十四月（1805 年 6 月11 日）生；咸丰十年三月一日（1860 年3
月22 日）卒。数学。
戴煦祖籍安徽休宁，明季迁居钱塘。其父戴道峻有子三人，戴煦为次
子。其兄戴熙道光十二年（1832）进士，官至兵部右侍郎，■文节。戴煦
淡于进取，为人“狷介拔俗而平易近人”，时人称之为“知礼之君子”。
戴煦读书兴趣非常广泛，数学、音律、文学、古文字、绘画、篆刻乃至堪
舆无不精究，而以数学为其主要研究领域。15 岁，入杭州府学，以后便绝
意进取开始数学研究与著述。青年时期与同里谢家禾共同研治数学。1826
年，完成《四元玉鉴细草》若干卷，项名达（1789—1850）读后即“命驾
见过，引为忘年交”，遂成为终生的学术挚友。中年以后，戴煦进入了数
学创作的兴旺时期。1837 年，校刊谢家禾《谢■堂算学三种》。自1845
年至1852 年，凡八易寒暑，共成数学著作4 种9 卷总名《求表捷术》。其
间与项名达学术交往频繁，两人“共定开方捷术”。1845 年、1846 年，项
氏分别为戴氏《对数简法》、《续对数简法》作序。戴煦一生的最后几年
中，声名日著，已可与董■诚（1791—1823）、项名达、李善兰（1811—
1882）等人相提并论。1851 年，与李善兰相识，互相讨论《对数探源》
（1845）、《弧矢启秘》（1845）及未完稿《外切密率》等书的内容。1854
年，英国教士艾约瑟（J．Edkins，1823—1905）慕名求见，戴煦以“中外
殊俗异礼”托故辞之。1855 年，与徐有壬（1800—1860）相识。徐氏于1857
年为《续对数简法》作跋。受项名达之嘱，戴氏于1857 年为之校补《象数
一原》6 卷，并补《椭圆求周术图解》1 卷，使成完璧。1860 年3 月19 日，
太平天国军攻克杭州，其兄戴熙于3 月21 日自尽。是夜，戴煦随兄自尽。
著作有《重�