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补方法证明几何问题。对平面图形，后人称作图验法，在直线形中，它是
可靠的，但在曲线形中，却不能真正完成证明。对立体图形，后人称作■
验法。刘徽说：“说算者乃立■三品，以效高深之积。”三品■即长、宽、
高均1 尺的立方、堑堵（斜解立方得两堑堵）、阳马（即直角四棱锥，斜解堑
堵得一阳马，及一鳖■，即各面均为勾股形的四面体）。一般说来，■验法
只可用来验证标准形立体（即可分解或拼合成三品■者）的体积公式，对一
般情形则无能为力。人们在论证圆锥、圆亭、球等体积公式时，采用比较
其底面积的方法。这是祖■原理的最初阶段。齐同原理在数学计算中已经
使用。总之，人们尽管在论证《九章算术》公式的正确性上作了可贵的努
力，为刘徽采其所见准备了丰富的资料，但这些方法多属归纳论证，对《九
章算术》大多难度较大的算法尚未给出严格证明，它的某些错误没有被指
出。刘徽之前的数学水平没有在《九章算术》的基础上推进多少，这就给
刘徽“探赜之暇，遂悟其意”，留下了驰骋的天地。自然，他的业绩主要
在数学理论方面。
算法及其纲纪——率长于定量分析，以算法为中心，是中国古代数
学的特点。《九章算术》上百个一般性公式、解法，每个都是一种算法，
除个别失误外，都具有完全确定性、普适性和有效性等现代算法理论对算
法的要求。刘徽《九章算术注》的主要篇幅在于对《九章算术》算法的正
确性进行证明论述。进行计算，关键在于找到一种量作为标准，进而找到
各种量之间的关系，这就是率。率的本意是规格、标准。经过《孟子》、
《墨子》、《周髀》等阶段的演变，到《九章算术》，率成了一个明确的
数学概念。刘徽认为“凡九数以为篇名，可以广施诸率”，借助率论证了
《九章算术》的大部分算法，约200 个题目，使率的应用空前广泛深化，
把率概念提高到理论的高度。刘徽给出了率的定义：“凡数相与者谓之率。”
相与即相关，数在这里是量。一组量，如果它们相关，就称为率。由此刘
徽得出率的性质：“凡所得率知，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已。”
换言之，一组有率关系的数，在投入运算时，其中一个扩大（或缩小）某一
倍数，其余的数必须同时扩大（或缩小）同一倍数。刘徽进而提出了率的三
种等量变换：乘以散之，约以聚之，齐同以通之。它们最初都是从分数运
算抽象出来的。分数的分母、分子可以看作相与的两个量，因而成率关系，
关于分数的三种等量变换自然推广到率中来。实际上，刘徽关于率的定义
就是在经分术（分数除法）注中提出来的。成率关系的一组数若有等数（公因
子），则可用此等数约所有的数，是为约以聚之。相反，对成率关系的一组
数可以同时扩大某倍数而不改变率关系，是为乘以散之。利用这两种等量
变换可以把成率关系的一组数化成没有公因子的一组整数，从而提出了相
与率的概念。“等除法实，相与率也”。刘徽的运算大都使用相与率。只
有将几个分数化成同一分数单位才能作加减运算，于是产生了齐同术。刘
徽说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。
齐者，子与母齐，势不可失本数也。”同样，对比较复杂的问题，常常有
相关的分别成率关系的两组或几组数，要通过齐同，化成有同一率关系的
一组数，齐同原理成为率的一种重要运算。刘徽说：“齐同之术要矣，错
综度数，动之斯谐，其犹佩■解结，无望而不理焉。”刘徽对齐同原理的
应用是多方面的。若甲、乙之率为a，b，乙、丙之率为c，d，欲从甲求丙，
可以先从甲求乙，再从乙求丙，称为重今有术。刘徽认为，亦可应用齐同
原理，先同乙之率，为bc，再使甲、丙之率与乙相齐，分别为ac，bd，则
三率悉通，然后应用今有术。刘徽指出。“凡率错互不通者，皆积齐同用
之。放此，虽四五转不异也；”刘徽创造的方程新术，就是先求出诸物的
两两相与之率，再通过齐同，化成同一率关系，用今有术或衰分术求解。
同一问题，同什么量，齐什么量，可以灵活运用。对均输章第20—26 问即
凫雁类问题，刘徽提出了两种齐同途径。凫雁问是：“今有凫起南海，七
日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？”其解法，
可以“齐其至，同其日”，则63 日凫9 至，雁7
至。“今凫雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同”，
63
为相逢
9 ＋ 7
日。亦可同其距离的分割，齐其日速。南北海距离63 分，凫日行9 分，雁
日行7 分。并凫雁一日所行，以除南北海距离，而得相逢日。两种方式，
殊途同归，都证明了《九章算术》术文的正确性。盈不足问题在《九章算
术》中占有重要地位。即使一般算术问题，通过两次假设，都可以化成盈
不足问题（在非线性问题只可得近似解）。《九章算术》首先给出了一般方
法：“置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实，并盈、
不足为法。实如法而一。”设所出a1，盈b1，所出a2，不足b2，则不盈
ab ＋ ab
不■之正数为1b21 ＋ b22
1 。刘徽认为：“盈、■维乘两设者，欲为齐同
之意。”同其盈、■为b1b2，使所出与盈、■相齐，分别为a1b2 和a2b1，
12 21
于是b ＋b 次所出，共出ab ＋a b 而不盈不■，故每次出
a b
b1 ＋
＋
ba
2b
12 1221
。方程术即线性方程组解法是《九章算术》最值得称道的成就。《九章算
术》按分离系数法列出方程，相当于现在的矩阵和增广矩阵。然后用直除
法消元，直到每行剩一个未知数，从而求得方程的解。刘徽把率的思想拓
展到方程术中，提出方程是“令每行为率”，因而可以对整行施行乘以散
之，约以聚之，并在各行之间施行齐同以通之，从而建立了常数与整行的
乘除运算，以及两行之间的加减运算。刘徽接着提出了“举率以相减不害
余数之课”的原理作为方程术消元的理论基础。直除法是以甲行某系数乘
乙行，再从乙行反复减甲行，直至该系数化为零。刘徽认为直除法符合齐
同原理，同是同两行相应的未知数系数，齐是使一行中其余各项系数及常
数项与该项系数相齐。刘徽进而创造了互乘相消法，与现今消元法无异。
刘徽认为，上述原理和方法对负系数方程同样适用：“赤黑相杂足以定上
下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率。然则其正
无入负之，负无入正之，其率不妄也。”此处“赤黑”即正负数。五家共
井问6 个未知数，只能列出5 行。《九章算术》按方程术解而实际上把一
组最小正整数解作为定解。刘徽认为这是“举率以言之”，承认它是不定
问题，是为中国古算中第一次明确提出不定方程。刘徽还把率广泛用于面
积、体积和勾股等几何计算中。相似勾股形“相与之势不失本率”，是刘
徽概括出的一条重要原理。《九章算术》勾股容圆径的公式是
d=2ab/（a＋b＋c）。刘徽用衰分术的证明是：过圆心作平行于弦的直线，分别
与勾、股及垂直于勾、股的半径构成与原勾股形相似的小勾股形，且其周
长分别等于勾、股，如图2。设勾上小勾股形边长为a1，b1，c1，则
a1：b1：c1=a：b：c ，且a1＋b1＋c1=a ，由衰分术，b1=ab/（a＋b＋c） ，。。
d=2b1=2ab/（a＋b＋c）。其他测望问题和重差问题亦可借助率解决。刘徽说：
“乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎？”显然，刘徽把
率看成数学运算的纲纪。刘徽认为，今有术在算法中起着基础性作■
图2图3
用。所谓今有术就是：若：B=a b B=
Ab
。刘徽把它看成“都
A ： ，则
a
术”即普遍方法，并且说：“诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成
率，审辨名分，平其偏颇，齐其参差，则终无不归于此术也。”这里，“平
其偏颇，齐其参差”，就是齐同原理。
出入相补原理出入相补又称以盈补虚，是刘徽之前解决面积、体积
问题的传统方法，刘徽对它作了记载、概括和发展。以勾股章“出南北门
求邑方”问为例，已知出北门a 步有木，出南门k 步折西b 步见木，求邑
方。《九章算术》给出二次方程x2＋（a＋k）x=2ab，x 便是邑方。刘徽的出入
相补方法是：设北门C，南门D，木B，折西处C＇，见木A＇。作诸辅助
线如图3。勾股形BEA＇与 BC＇A＇， AGA＇与 AFA＇面积分别相等，故长
方形BEGC与BHFC＇面积相等，即ab，长方形HD＇F＇。。 F的面积为x2＋ax＋kx，。。
又等于BHFC＇之2 倍，即2ab，故x2＋（a＋k）x=2ab。这就证明了《九章算
术》方法的正确。刘徽在阐述了日高术之后说，《九章算术》的测望问题
“皆端旁互见，无有超邈若斯之类”。他说：“虽夫圆穹之象犹曰可度，
又况泰山高与江海之广哉？”因此，“辄造《重差》，并为注解，以究古
人之意，缀于《勾股》之下”。刘徽说：“凡望极高，测绝深而兼知其远
者必用重差、勾股，则必以重差为率，故曰《重差》。”从测望技术上说，
他使用了重表、■■
图4 以盈补虚求堑体积图5 开立方图示
连索、累矩三种基本方法，而望海岛（同日高术）、望松、望谷深代表了望
高、知远、测深三个基本公式，其余诸问的方法皆可由它们推出。这三个
基本公式是：岛高=表间×表高/相多＋表高，松高=表间×入表/相多＋入表，
谷深=矩间×上股/上下股差…勾高。刘徽设计的问题的复杂程度大大超过了
《九章算术》，有的要测望三次或四次。他说：“度高者重表，测深者累
矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所
不入。”刘徽自注已佚，他怎样证明这些公式不得而知，用出入相补原理
或比率的原理都是可能的。立体体积公式也可用出入相补原理证明。
刘徽证明堑的体积V=
1（b ＋ b ）ah 的方法是以盈补虚，将堑变成一个宽
21 2
1
b） 、长、高的长方体如图h ；4。刘徽对其他多面体体积公式的证
2
（b1 ＋ 2a
明则必须在用无穷小分割方法证明了阳马和鳖■的体积公式之后。而所谓
■验法，是刘徽以前的传统方法，不是刘徽创造的，刘徽甚至不满意这种
方法，指出了它的局限性。刘徽还用出入相补原理证明了开平方、开立方
32
程序的正确性。如开A的立方，求得初商a ，则减根方程x ＋ 3a x x =
1 1 111
A …31 的几何意义如图所示，其剩余部分A …a 31 由小立方x31
a5 、三长廉
3a x 2 、三方廉a 2x 构成其中x
11 311； 1为待求的未知数。
无穷小分割在数学证明中的应用这是刘徽最杰出的数学贡献。极限
思想的萌芽在先秦墨家、名家、道家的著作中就产生了，但主要在于说明
他们的宇宙观。千百年来，车轮等圆形器具的制造中实践着化直为曲、化
方为圆的过程，就含有极限思想。司马迁将之抽象为“破觚为圜”，以比
喻汉废秦之苛法。刘徽则在中国数学史上第一次把极限思想用于数学证
明。
割圆术——圆面积公式的证明。《九章算术》提出了圆面积公式S=
1
2
Lr，S，L， 分别为圆面积、周长及半径。刘徽用极限思想对之作了
r
证明。他从圆内接正6 边形开始割圆，依次得到正6·2A边形（n=0，1，2，。），。。
设其面积为Sn，每边长ln，周长Ln。他认为割得愈细，S…Sn愈小。“割之
又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”用现代
符号此即表示limln = 0；lim Ln = L；lim Sn = S。另一方面，圆内接正6·
n。￥ n。￥ n。￥
2n边形每边与圆周有余径rn，显然Sn＋6·2nlnrn=sn＋2（Sn＋1=sn）》S。但在
正多边形与圆周合体的情况下，“则表无余径。表无余径，则幂不外
出矣。”亦即当limln = 0 时，limrn = 0；lim ＇Sn ＋ 2（Sn ＋ 1 …Sn ）＇ = S。最
n。￥ n。￥ n。￥
后，将与圆周合体的正多边形分割成无数个以圆心为顶点以边长为底的小
等腰三角形。由于以每边乘半径等于每个小三角形面积的两倍，则这无数
个小三角形面积之和应是圆半周与半径之积，正如刘徽所说：“以一面乘
半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而