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KZ
Kn = K1±
470
。80 。由于上述假设带有较大的偏差，于是，一行的九服
漏刻计算法也只能是一种近似算法。此外，一行还创立了九服食差的计算
法。所谓食差是由月亮视差引起的月亮视位置、真位置同黄白交点之间的
度距差。月亮视差的大小因月亮天顶距的不同而异，而天顶距的大小与地
理纬度有关，也就是说食差的大小与地理纬度有关，九服食差计算法就是
因此而提出的。对此，大衍历的算法是：分别以某地二至及定春、秋分午
中影长的实测值为引数，由晷漏表依一次差内插法反推出与之相应的日期
和时刻；又以这些日期和时刻为引数，由阳城二十四节气食差表也依一次
差内插法求出相应的食差值；以此分别作为某地二至及定春、秋分时的食
差值；在此基础上，再依近似方法求得该地任意时日的食差值。这一算法
从大的原则上看并无错误，但是由于在某地和阳城测影以及阳城二十四节
气食差表本身存在误差，而且一次差内插法的应用和由某地二至食差等推
演出的食差值都是近似的，所以一行的九服食差计算法当然也还是一种近
似算法。
大衍历的九服晷长、昼夜漏刻和食差计算法，是一行力图打破传统历
法关于晷长、漏刻和日食等的推算仅限于某一地点有效的局面，使历法适
用于全国各地的大胆尝试，它大大扩展了历法的普适性，这在我国古代历
法史上是一个划时代的创举。
关于阳城二十四节气食差，大衍历是以表格形式分别给出各定气的二
十四个食差值，这种食差表也是一行首创，研究表明，它实质上是反映太
阳处于黄道不同位置对月亮天顶距大小的影响，而造成的食差各异的状
况。该食差表的误差为2°左右。阳城二十四节气食差和九服食差与各地
日食食时、食分等的预报有关，它们对于日食预报质量的提高是大有裨益
的。
对于月食的研究，一行也取得了不小的进展。在大衍历中，他给出了
一个十分简捷的月食食分（g）的计算公式：
35239339 …B
。
g = ，
183
B 为月亮距黄白交点的日分值。该式不但符合现代关于月食食分的定义，
而且隐含有特殊的天文学意义。由之可以推算知，大衍历所取必定发生月
全食的食限值为3。36°（令g=15 代入上式，得B=778。9339 分，再乘以月
亮每日平均行度13。3687 度，除以日法3040，再化为360°制），与理论值
之差为0。55°，其精度较前大有提高，而且对后世若干历法产生了重大影
响。大衍历的月食食分计算公式更成为后世绝大多数历法所承用的基本形
式。
关于五星运动，一行也有独到的研究。首先，他最早提出了五星运动的轨
道与黄道并不重合，两者之间存在一定夹角的概念，而且给出了计算五星
位置在黄道南或北的具体方法。其次，他最早提出了五星近日点进动的概
念，并给出了木、火、土、金、水五星近日点每年的进动值（Δλ）分别为
39。9″，37。4″，26。8″，35。6″和159。7″，它们与理论值之差分别为
18。1″，28。9″，43。7″，15。1″和103。7″。在此基础上，一行建立了
计算五星近日点黄经的方法：已知某年五星近日点黄经为λ，N 年后五星
近日点黄经则为λ＋Δλ·N。据此推算，一行得728 年木、火、土、金、
水五星近日点黄经分别等于345。1°，300。2°，69。9°，260。1°和286。6°，其误差分别为8。9°，12。5°，16°，146。3°和228。9°。再次，他
最先编制了以五星近日点为起算点，每经15°给出一个五星实际行度与平
均行度之差的数值表格，以此取代北齐张子信以来每经一个节气给出一个
相应数值的初始方法。一行的新表格对五星运动不均匀性的描述给出了更
加明晰的天文意义。经对该数值表格的分析可知，木、火、土、金、水五
星盈缩的最大值分别为239。5＇，377。5＇，507。6＇，77。0＇和192。0＇，
其误差分别为79。6＇，256。7＇，95。3＇，26。3＇和1220。1＇，其中木、
土二星数值表格的总体误差分别为70。6＇和59。4＇。上述各值的误差都还
是较大的，只有少数数值精度较高，如土星近日点黄经值，这说明一行对
五星运动规律的认识还是初步的。但是，以上三项创新为后世历家的进一
步探索开拓了正确的方向，标志着我国古代对于五星运动的研究进入了一
个崭新的时期。
一行还十分注重探求用新的数学方法去描述由实测得知的日、月、五
星运动以及交食等的客观状况。对于太阳运动不均匀性改正值及食差值的
计算，一行发明了不等间距二次差内插法，这一方法适用于以定气为基准
的数值表格的计算，它是对刘焯首创的等间距二次差内插法的发展与完
善。在大衍历的五星运动不均匀性改正表格中，五星实际行度与平均行度
的四次差等于零；在其月亮极黄纬表格中，相邻两日月亮极黄纬值的四次
差亦等于零。这一事实本身表明，一行在实测中已经发现五星运动的迟疾
变化并不是等加速或等减速的，月亮极黄纬的变化也不依从等差级数的变
化规律，所以都不能用等间距二次差内插法，而必须寻求新的数学方法进
行计算。与四次差等于零这一事实相匹配的应该是三次差内插法，可是对
大衍历五星运动不均匀性改正值和月亮极黄纬的计算法的考察表明，一行
只是给出了三次差内插法的近似公式。由此可知，一行确实进行了三次差
内插法的探索，并取得了可喜的进展，可惜未获最后成功。此外，对于黄
赤道宿度变换、黄白道宿度变换等的计算法，一行也作了新的测算与归纳，
其中黄白道宿度变换法的精度远高于前人，对后世产生了较大的影响。
一行对恒星位置进行过十分认真的观测。据研究，他对二十八宿距星
去极度测量的误差约为1。6°，这比旧测值的误差（约3。5°）大为降低；对
二十八宿距度测量的误差为0。56°，这比西汉落下闳当年测定的误差
（0。48°）稍大，但由于落下闳值是800 余年前的测量值，如果继续使用，
其误差已远大于0。56°，所以，一行在大衍历中采用他的新测值，还是具
有较高精度的。还要指出的是，一行对二十八宿距星去极度的新、旧测值
进行比较时发现：从牛宿到井宿，除女宿古小今大，危宿古今同度外，其
余均古大今小；从鬼宿到斗宿，除鬼宿古今同度外，其余均古小今大。用
现代的岁差理论推算，真实的情况应是：从牛宿到井宿古大今小，从鬼宿
到斗宿古小今大。这就是说，一行的观测结果和由分析所得的结论基本上
是可信的。而对二十八宿距度的新、旧测值的比较，一行也发现了斗、虚
等六宿古今不同度。一行对文昌、北斗、天关等20 多个星官的入宿度或去
极度也进行了测量，也发现古今不同的现象。由此，他得出了星宿位置古
今变化的重要结论，虽然他并没有对此提供理论上的说明，但这一结论本
身的意义及其影响都是很大的。宋元时期频繁的恒星位置测量工作的思想
基础便与之有关。
一行发起组织的四海测验工作，是他的天文测量工作的又一重大成
就。这一工作的直接目的，是为计算九服晷漏和食差等历法问题服务的。
一行委派人员分别到以下13 个地点：铁勒（今俄罗斯贝加尔湖附近）、蔚州
横野馆（今河北蔚县）、太原府、滑州白马（今河南滑县）、汴州浚仪太岳台（今
河南开封）、洛阳、阳城、许州扶沟（今河南扶沟）、蔡州上蔡县武津馆（今
河南上蔡）、襄州（今湖北襄阳）、郎州武陵县（今湖南常德）、安南都护府（今
越南北部）和林邑国（今越南中部），进行了北极出地高度、冬夏至和春秋分
晷影长度，以及冬夏至昼夜漏刻长度等的实测工作，取得了一批较好的观
测成果。这是我国古代第一次大规模的全国性天文测量工作。
其中，对于白马、浚仪、扶沟和上蔡四处的测量工作做得最认真，也
最为重要。这四处地点是一行等人精心选定的，一是它们均地处平原，二
是它们大约位于同一经度线上。测量的内容除上述各项外，还增添了用测
绳丈量这四处彼此间水平距离的内容。这四处的实测工作是另一位天文学
家南宫说具体负责的。一行、南宫说等人作出这些安排的主要用意是：验
证前人关于地南北距千里、夏至午中晷影差一寸的说法。对测量结果的简
单计算，一行便得到大约南北相距200 余里、夏至晷影便相差一寸的结论，
从而证实了前人说法的谬误，了结了数百年以来的积案，达到了这次测量
的初始目的。可是，一行并不就此止步，而是对所有测量结果作更深入的
分析研究，他发现了如下重要的事实：A 地至B 地、C 地至D 地的里差相同，
但其冬至（或夏至）的晷差却不同；E 地至F 地、G 地至H 地的里差不同，但
其冬至（或夏至）的晷差却一样，即发现各地的里差和晷差之间并不存在线
性关系，这当然是对前人千里差寸之说的更深层次的否定，同时也促使一
行作更进一步的探索。当对各地里差与北极出地高度差之间的关系进行比
较分析时，一行敏锐地发现这两者之间存在着稳定的线性比例关系：“大
率三百五十一里八十步，而极差一度。”（《新唐书·天文志一》）这实际
上已经创立了子午线1°长度的新概念。一行得到子午线1°长131。11 公
里的数值，这比现代的测量结果偏大约20。17 公里，精度并不高。应该说，
一行、南宫说等人当初在白马等四处进行测量时，并未意识到这一工作的
巨大天文学含义，但是他们确实这样做了，而且在事后卓有成效的研究中，
实际上得到了上述概念和数据，所以，这应是世界上第一次对子午线1°
长度进行的实测工作。
新天文仪器的制造，在一行看来是进行天文测量工作的首要和必备条
件。为此，一行也倾注了不少心血，同时也展现了他的才华。一行以梁令
瓒设计的黄道游仪的图样为基础，经与梁令瓒等人的共同努力，铸成了较
前代同类仪器的功能和适用性都更广泛的新仪器。在新黄道游仪的赤道
环、黄道环和白道环上，均每隔一度打一小孔，这样可令黄道环沿赤道环
移动，约每经82 年移动一对小孔，以适应冬至点沿赤道西退的岁差现象；
又可令白道环沿黄道环移动，约每经19 日移动一对小孔，以适应黄白交点
沿黄道西退的交点退行现象。后者是沿用李淳风浑仪法并作小的改进的结
果，前者则是对李淳风浑仪的设计思想的创造性应用。
一行和梁令瓒等人还共同设计、制造了一台既可自动演示天象，又能
自动报时的新仪器，称为浑天仪。其报时系统是“置二木人于地平之上，
前置钟鼓，以候辰刻，每一刻则自然击鼓，每辰则自然击钟”（《张燕公集》
卷九）。浑天仪是在张衡水运浑天的基础上发展而成的，其中的自动报时系
统是经后世进一步完善和发展的自动天文钟的始祖。
为四海测验的需要，一行还设计制造了一种专门用于测量各地北极出
地高度的仪器，叫做覆矩。据推测，它是一种半圆形的测角器，圆心安置
在带有一转轴的支架上，可绕轴旋转。观测时，先令通过圆心的铅垂线与
测角器上的90°分划线重合，接着转动测角器，沿直径方向照准北极星，
再读取铅垂线所指度值，该度值与90°分划线之间的夹角就是当地的北极
出地高度。这一仪器的设计思想新颖，而且符合科学道理，仪器本身又轻
便、灵活，便于携带和使用。这是一行在天文仪器制造方面的又一杰作。
从以上的讨论，以及其他有关史料，我们可以归纳出一行从事天文活动的
几个明显的思想特征：一是他十分注重观测实践，特是直接的、第一手的
实测结果，为此，他从新天文仪器的设计制造入手，仪器一旦铸成，便充
分利用它进行勤勉和精细的测量工作。他还十分珍视前人观测实践的间接
成果，尽量详尽地收集和整理前人关于交食、晷影、五星、冬至太阳所在
宿度等等的记录。前述一系列天文数据、表格、数学方法的厘定，正是以
这些古今观测结果为准绳的。二是他十分重视接受天象的检验，强调历法
必须“有验于今”，而且“有证于古”。对于冬至时刻和回归年长度等的
确定，就接受了春秋以来冬、夏至的日影测量结果“凡三十一事”的校验；
与交食有关的各天文数据和计算方法，则接受了汉武帝元光年间�