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a1=a3＋x=200＋x。
因为△1∽△11，
a1×b11
所以b1=
al1
x2 ＋ 230x ＋ 6000
=
200
2b10=2（b1…2x）（x）
2＇x 2 ＋ 230x ＋ 6000 …2x（200 …x）＇
=
200 …x
6x2 …340x ＋ 12000
=
200 …x
因为
12D2 =b 10 ×a11，
所以D2=2b10×a11=6x2…340x＋12000。
又因为D2=（2x）2=4x2，
所以4x2=6x2…340x＋12000。
移项，合并同类项，得
2x2…340x＋12000=0。
化简，得
x2…170x＋6000=0。
解方程，得x=120。
所以D=2×120=240。
由于摆脱了几何思维束缚，李冶在方程理论上取得许多进展：第一，
改变了传统的把实（常数项）看作正数的观念，常数项可正可负，而不再拘
泥于它的几何意义。例如，卷六第四问所得方程为
…x2…72x＋23040=0，
第七问所得方程为
…x2＋640x…96000=0，
两题常数项的符号恰好相反。实际上，《测圆海镜》中方程各项的符
号均无限制，这是代数学的一个进步。
第二，李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。书中170 题，有19
题列出三次方程，13 题列出四次方程，还有一题列出六次方程。在李冶这
里，未知数已具有纯代数意义，二次方并非代表面积，三次方也并非代表
体积。
第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个
整式的方法化分式方程为整式方程。
第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因
子xn（n 为正整数）时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一
次数。这一作法相当于用xn 去除方程各项。在《测圆海镜》中，李冶采用
了从○到九的完整数码。除○以外的九个数码古已有之，是筹式的反映。
但筹式中遇○空位，没有符号○。从现存古算书来看，李冶《测圆海镜》
与秦九韶《数书九章》是最早使用○的两本算书，它们成书的时间相差不
过一年。另外，李冶还发明了负号和一套相当简明的小数记法。李冶的负
号与现在不同，是画在数字上的一条斜线，通常画在最后一位有效数字上，
7。59875 尺记作七尺五寸九分八厘七毫五丝。李冶则取消数名，完全用数
码表示小数，纯小数于个位处写○，带小数于个位数下写步，如0。25 记作
小数记法还很笨重。例如比利时数学家S。斯蒂文（Stevin）在1585 年发表
的著作中，把每位小数都写上位数，加上圆圈，如27。847 写作27◎8①4
②7③， 这种记法显然不如李冶的记法简便。直到17世纪，J． 纳皮尔（Napier）
发明小数点后，小数才有了更好的记法。至于负号，在国外是德国人于15
世纪首先引入的。
由于李冶掌握了一套完整的数字符号及性质符号，他的方程已能用符
号表示，从而改变了用文字描述方程的旧面貌。但这时仍缺少运算符号，
尤其是缺少等号。这样的代数，可称为“半符号代数”，它是近代符号代
数的前身。大约300 年后，类似的半符号代数也在欧洲产生了。
《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作，而且在体例上
也有创新。全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义、定
理、公式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来。
李冶之前的算书，一般采取问题集的形式，各章（卷）内容大体上平列。李
冶以演绎法著书，这是中国数学史上的一个进步。
《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，对后世有深远影响。元代王
恂、郭守敬在编《授时历》的过程中，曾用天元术求周天弧度。不久，沙
克什用天元术解决水利工程中的问题，收到良好效果。元代大数学家朱世
杰说：“以天元演之，明源活法，省功数倍。”清代阮元说：“立天元者，
自古算家之秘术；而海镜者，中土数学之宝书也。”
《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学著作，但内容较深，粗
知数学的人看不懂。而且由于理学思想的影响，数学不受重视，所以天元
术的传播速度较慢。李冶深刻认识到天元术的重要性，于是便在封龙山教
学的同时，着手写一部普及天元术的著作。李冶曾读过北宋数学家蒋周的
《益古集》，内容多为二次方程，列方程的方法则是几何的。李冶用天元
术对此书进行研究，写成《益古演段》3 卷。如果说《测圆海镜》是为数
学家写的，那么《益古演段》就可能是为他的学生写的。
《益古演段》全书64 题，处理的主要是平面图形的面积问题，所求多
为圆径、方边、周长之类。除四道题是一次方程外，全是二次方程问题，
内容安排基本上是从易到难。李冶在完成《测圆海镜》之后写《益古演段》，
他对天元术的运用自然会更加熟练。但他却没有像前者那样，完全用天元
术解题。书中新旧二术并列，新术是李冶的代数方法——天元术；旧术是
蒋周的几何方法——条段法，这是一种图解法，因为方程各项常用一段一
段的条形面积表示，所以得名。该书揭示了两者的联系与区别，对我们了
解条段法向天元术的过渡、探讨数学发展规律有重要意义。书中常用人们
易懂的几何方法对天元术进行验证，这对于人们接受天元术是有好处的。
该书图文并茂，深入浅出，不仅利于教学，也便于自学。正如砚坚序中的
评价：“说之详，非若溟■黯淡之不可晓；析之明，非若浅近粗俗之无足
观。”这些特点，使它成为一本受人们欢迎的数学教材，对天元术的传播
发挥了不小的作用。
在数学理论上，《益古演段》也有创新。该书的问题同《测圆海镜》
不同，所求量不是一个而是两个、三个甚至四个。按古代方程理论：“二
物者再程，三物者三程，皆如物数程之。”应该用方程组来解，所含方程
个数与所求量个数一致。但解二次方程组要比解一元方程困难得多。李冶
既已完善了天元术程序，便力图提高它的一般化程度，用以解决各种多元
问题。他的主要方法是利用出入相补原理（即“一个平面图形从一处移置他
处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来
图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。”
吴文俊语）及等量关系来减少未知数，化多元为一元，找到关键的天元一。
一旦这个天元一求出来，其他要求的量就可根据与天元一的关系，很容易
求出了。
例如第三十五问：“今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地五千
七百六十步。只云从外田东南楞至内池西北角，通斜一百一十三步，其内
池阔不及长三十四步。问三事（指池长、池阔及圆径）各多少？”（图2）此
题欲求三数，若以方程组解之，须列出三个方程，一个可能的列法是：
设圆径为x，直池长为y，阔为z，则
ì 32 32
。 4x …yz = 5760；（ 圆面积=
4＇直径＇
。 x
y2 ＋ x2
= 113；
。 22
。z ＋ 34 = y
但李冶却设法避免了联立方程。
依本题法，设角斜为x，则圆径=x＋113，
四圆积=3（x＋113）2=3x2＋678x＋38307，
所以四池积=四圆积…4×5760
=3x2＋678x＋15267。（1）
因为池斜=113…x，
所以二池积=（113…x）2…342
=x2…226x＋11613，
所以四池积=2x2…452x＋23226。（3）
由（1），（3）消得
x2＋1130x…7959=0。
题中（2）式所用二积一较幂公式2ab＋（a…b）2=a2＋b2
图3
便体现了出入相补原理。这从李冶的条段图中可以看得很清楚，如图
3，四勾股形全等，每个勾股形勾b 股a 弦c。求出角斜后，易求圆径。从
圆积减去外计地，得池积，由长方形面积公式便可求出池长、池阔了。这
种方法显然比解三元方程组简便。
另外，李冶还在列方程时首创设辅助未知数的方法。第四十问中得到
方程
…22。5x2…648x＋23002=0
后，李冶为了使最高项系数的绝对值变为1，便作如下变形（译文）：
设y=22。5x，则上式变为
…y2…648y＋517545=0。
开方，得
y=465，
所以
x = 20
23
。
李冶称这种设辅助未知数的方法为连枝同体术。顾名思义，他是把辅
助未知数看作与原方程连为一体的一个分枝。这种方法在代数学史上是有
意义的，因为它提供了方程变形的一个有力工具。
此题的另一种解法是首先“立天元一为三个内池径”，这相当于设
y=3x。李冶称此法为之分术，实际也是一种设辅助未知数的方法，也能起
到简化方程的作用。依法演算，得
…2。5y2…216y＋23002=0。
两种方法的区别在于：之分术把设辅助未知数的步骤放于题首，而连
枝同体术把这一步骤用于方程变形。
《益古演段》的成书，为天元术的应用开辟了更为广阔的道路。砚坚
称赞此书说：“颇晓十百，披而览之，如登坦途，前无滞碍。旁溪曲径，
自可纵横而通。。真学者之指南也。”《测圆海镜》是天元术的代表作，
而《益古演段》是普及天元术的杰作。两书相辅相成，互为表里，反映了
作者既努力提高数学的一般化程度，又注意发挥其社会效益的精神。
李冶死后不久，天元术理论便经过二元术、三元术，迅速发展为朱世
杰的四元术。如果说在李冶手中，天元术已成为参天大树，那么在李冶之
后，这棵大树便在第二代数学家的培育下，结出了四元术的累累硕果。
纵观李冶一生，不管是在为人上还是在学术上，都不愧为一代楷模。
他在任钧州知事期间，为官清廉、正直，亲自掌管出纳，一丝不苟。据载，
钧州城的出纳“无规撮之误”。在当时动乱的环境中，像李冶这样的清官
确实是难能可贵的。李冶在《敬斋古今■》中说：“好人难做须著力”，
又说：“著力处政是圣贤阶级”，这正是他为人做官的写照。他同情人民，
面对蒙古军队的屠杀和抢掠，不仅在诗文中表现了极大的愤慨，而且在见
忽必烈时，力劝蒙古统治者“止征伐”。他一生热爱科学，追求自由，决
不负辱求名。在学术上不迷信名家，敢于突破传统观念的束缚。他虽是通
儒出身，但当他认识到数学的重要性时，便专攻数学，这种行动本身就是
对传统儒学的批判，因为在儒家看来，数学“可以兼明，不可以专业”。
当时盛行的新儒学——程朱理学，甚至把研究科技看作“玩物丧志”，把
数学说成“九九贱技”。李冶毫不客气地批评了这些错误观点，指出在朱
熹的著述中“窒碍之处亦不可以毛举也”。
值得注意的是，李冶的思想深受道家影响。道家崇尚自然，这无疑是
有利于把人们的眼光引向自然科学的。老庄的自然观甚至成为李冶抵制唯
心主义理学的思想武器。他说：“由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐，
亦不免为一技；由技进乎道者言之，石之斤，扁之轮，非圣人之所与乎？”
（夷，黄帝臣名；夔，舜臣名。石，扁，均为古工匠名）这就是说，从技艺
用于实际来说，圣人所作的礼和乐也可看作一种技艺；从技艺中包含自然
规律（即“道”）来说，工匠使用的工具也是圣人所赞赏的。如果我们把李
冶的话同庄子所说的“道者，万物之所由也。。。道之所在，圣人尊之”
联系起来，李冶受庄子思想的影响是一目了然的。很明显，他认为数学这
种技艺也是“道之所在”，也应受到尊重。
李冶还认为，数虽奥妙无穷，却是可以认识的，他说：“谓数为难穷，
斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫
昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。”李冶的这一思想，
也可以从老庄学说找到渊源。庄子说：“夫昭昭生于冥冥，有伦生于无形。”
老子说：“人法地，地法天，天法道，道法自然”，“道之尊，德之贵，
夫莫之命而常自然。”正是由于对自然的深刻理解，李冶进一步指出：“数
一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已。苟能推自
然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者
矣。”
李冶不仅有比较先进的哲学思想，而且能在极为艰苦的条件下进行顽
强的科学研究。他在桐川著书时，居室十分狭小，甚至常常不得温饱，要
为衣食而奔波。但他却以著书为乐，从不间断自己的工作。他的学生焦养
直说他“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿�