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直说他“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日
废其业”，“手不停披，口不绝诵，如是者几五十年”。另外，他还善于
去粗取精，批判地接受前人知识，正如他自己所说：“学有三，积之之多
不若取之之精，取之之精不若得之之深。”这些优良品质，都是李冶在学
术上取得杰出成就的重要原因。
李冶时代，数学不受重视。但李冶却执着地追求真理，他在《测圆海
镜序》中说：“览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑我者当千数。
乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉？”李冶不仅学术精深，而
且致力于传徒授业，对学生循循善诱。后人盛赞李冶“导掖其秀民，仁之
至也。其徒卒昌于时，孰不曰文正公所作成也”（文正为李冶谥号）。李冶
以自己的毕生心血，在中国科学史上写下了光荣的一页，被人们深深怀念
着。
文献
原始文献
＇1＇（元）李冶：测圆海镜细草，《知不足斋丛书》本，1798。
＇2＇（元）李冶：益古演段，《丛书集成》本，商务印书馆，1936。
＇3＇（元）李冶：敬斋古今■，《丛书集成》本，商务印书馆，1935。
＇4＇（元）李冶等：敬斋古今■附录，《藕香零拾丛书》本，1895。
＇5＇（周）老聃：老子·第二十五章、五十一章，见中国社会科学院哲学
研究所中国哲学史研究室编《中国哲学史资料选辑·先秦之部》，中华书
局，1964。
＇6＇（周）庄周：庄子·秋水、渔父，见陈鼓应《庄子今注今译》，中华
书局，1988。
＇7＇（魏）刘徽注：九章算术·卷八、卷九，见钱宝琮校点《算经十书》，
中华书局，1963。
＇8＇（元）朱世杰：算学启蒙·卷下，据（朝）金始振藏本重刊，1839。
＇9＇（金）元好问：元遗山先生全集·卷首、卷十七，读书山房刻本，1881。
＇10＇（明）宋濂：元史，中华书局，1976。
＇11＇（元）脱脱等：金史，中华书局，1975。
＇12＇（元）苏天爵：元朝名臣事略·卷十、卷十三，中华书局影印元刊
本，1962。
研究文献
＇13＇（清）胡岳：元氏县志·卷十一，1875。
＇14＇（清）陈■：栾城县志·卷二、卷六、卷十一，1873。
＇15＇（明）唐雷礼：真定府志·卷二十七，明刻本。
＇16＇孔国平：李冶传，河北教育出版社，1988。
秦九韶
何绍庚
秦九韶字道古。普州安岳（今四川安岳）人。南宋嘉泰二年（1202
年）生；约景定二年（1261 年）卒于梅州（今广东梅县）。数学。
秦九韶祖籍鲁郡（今河南范县），其父秦季■，字宏父，绍熙四年（1193）
进士，后任巴州（今四川巴中）守。嘉定十二年（1219）三月，兴元（今陕西汉
中）军士张福、莫简等发动兵变，入川后攻取利州（今广元）、阆州（今阆中）、
果州（今南充）、遂宁（今遂宁）、普州（今安岳）等地。在哗变军队进占巴州
时，秦季■弃城逃走，携全家辗转抵达南宋都城临安（今杭州）。在临安，
秦季■曾任工部郎中和秘书少监等官职。宝庆元年（1225）六月，被任命为
潼川知府，返回四川。
秦九韶自幼生活在家乡，18 岁时曾“在乡里为义兵首”，后随父亲移
居京都。他是一位非常聪明的人，处处留心，好学不倦。其父任职工部郎
中和秘书少监期间，正是他努力学习和积累知识的时候。工部郎中掌管营
建，而秘书省则掌管图书，其下属机构设有太史局，因此，他有机会阅读
大量典籍，并拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工
程问题，甚至可以深入工地，了解施工情况。他又曾向“隐君子”学习数
学。他还向著名词人李刘学习骈俪诗词，达到较高水平。通过这一阶段的
学习，秦九韶成为一位学识渊博、多才多艺的青年学者，时人说他“性极
机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、■、马、
弓、剑，莫不能知”。
1225 年，秦九韶随父亲至潼川，担任过一段时间的县尉。数年后，李
刘曾邀请他到南宋国史院校勘书籍文献，但未成行。端平三年（1236）元兵
攻入四川，嘉陵江流域战乱频仍，秦九韶不得不经常参与军事活动。他后
来在《数书九章》序中写道：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，
尝险罹忧，荏苒十■，心槁气落”，真实地反映了这段动荡的生活。由于
元兵进逼和溃卒骚乱，潼川已难以安居，于是他再度出川东下，先后担任
过蕲州（今湖北蕲春）通判及和州（今安徽和县）守，最后定居湖州（今浙江吴
兴）。秦九韶在任和州守期间，利用职权贩盐，强行卖给百姓，从中牟利。
定居湖州后，所建住宅“极其宏敞”，“后为列屋，以处秀姬、管弦”。
据载，他在湖州生活奢华，“用度无算”。
淳■四年（1244）八月，秦九韶以通直郎为建康府（今江苏南京）通判，
十一月因母丧离任，回湖州守孝。在此期间，他专心致志研究数学，于淳
■七年（1247）九月，完成数学名著《数书九章》。由于在天文历法方面的
丰富知识和成就，他曾受到皇帝召见，阐述自己的见解，并呈有奏稿和“数
学大略”（即《数书九章》）。
宝■二年（1254），秦九韶回到建康，改任沿江制置使参议，不久去职。
此后，他极力攀附和贿赂当朝权贵贾似道，得于宝■六年（1258）任琼州守，
但三个月后被免职。同时代的刘克庄说秦九韶“到郡（琼州）仅百日许，郡
人莫不厌其贪暴，作卒哭歌以快其去”，周密亦说他“至郡数月，罢归，
所携甚富”。看来，由于他在琼州的贪暴，百姓极为不满。秦九韶从琼州
回到湖州后，投靠吴潜，得到吴潜赏识，两人关系甚密。吴潜曾相继在开
庆元年（1259）拟任以司农寺丞，景定元年（1260）拟任以知临江军（今江西清
江），都因遭到激烈反对而作罢。在这段时间里，秦九韶热衷于谋求官职，
追逐功名利禄，在科学上没有显著成绩。在南宋统治集团内部的激烈斗争
中，吴潜被罢官贬谪，秦九韶也受到牵连。约在景定二年（1261），他被贬
至梅州做地方官，“在梅治政不辍”，不久便死于任所。
秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法
和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，
达到了当时世界数学的最高水平。
我们知道，古典代数学的中心课题是方程论，我国古代对于列方程和
解方程都曾取得杰出的成就。早在《九章算术》中便已载有开平方术和开
立方术，后来又有“开带从平方”、“开带从立方”等二次和三次方程的
数值解法，祖冲之父子和王孝通等都对这一课题进行了深入研究。在11
世纪，宋代数学家贾宪又创造一种新的开方法——增乘开方法，通过随乘
随加导出减根方程，逐步求出高次方程的正根。以上这些方法都要求方程
各项系数为正整数。在宋代，有不少数学家研究了高次方程数值解法，特
别是刘益提出的“正负开方术”，方程系数可正可负，取消了以前对方程
系数只允许为正整数的限制。但是，这些工作还不够完整和系统。秦九韶
在前人工作的基础上，提出一套完整的利用随乘随加逐步求出高次方程正
根的程序，亦称“正负开方术”，现称秦九韶法。对于形如
f（x）=a0xn＋a1xn…1＋。an…1x＋an=0
的高次方程及其正根，秦九韶将其表示为下图的形式。这与古代开方
术的分离系数表示法基本一致，只是他令“实”常为负（an＜0），这一点有
所差别。图中的数码用筹算数字。下面以《数书九章》“尖田求积”问题
为例说明秦九韶高次方程数值解法的运算步骤：
（1）依据术文列出方程
…x4＋763200x2…40642560000=0，
布置算筹如图式（1）。“益隅”是指x4 的系数是负数，“从上廉”是指x2
的系数是正数，“虚”表示系数为零，“实”规定为负数。
（2）把“上廉”向左移四位，“隅”向左移八位，算得上商8，放在“实”
的百位数上边，如图式（2）。这实际上相当于对原方程进行x=100x1 的变
换，得
…108x41＋763200·104x21…40642560000=0。
（3）以商8 乘益隅得…800000000 置负下廉。以8 乘负下廉，与原有的
上廉相消，得1232000000 为上廉。以8 乘上廉得9856000000 为方。以8
乘方得“正积”78848000000，以原有的负实与正积相加，得正实
38205440000。如图式（3）。
（4）以8 乘益隅，并入下廉得…1600000000。以8 乘下廉，与原有的正
上廉相消得…11568000000 为负上廉。以8 乘上廉与原有的方相消，得
82688000000 为负方，如图式（4）。
（5）以8 乘益隅，并入下廉得…2400000000。以8 乘下廉，并入上廉，
得…30768000000 为负上廉。如图式（5）。
（6）以8 乘益隅，并入下廉得…3200000000 为负下廉。如图式（6）。
（7）把“方”向右移一位，上廉移二位，下廉移三位，隅移四位。以负
方除正实，算得次商4。如图式（7）。
（8）以次商4 乘益隅，并入下廉得…3240000。以4 乘下廉，并入上廉得
…320640000。以4 乘上廉，并入方得…9551360000。以4 乘方，与正实相消，
恰恰消尽。即得840 为方程的一个正根，如图式（8）。
由以上运算过程可以看出，当求得8＜x1＜9，确定第一位得数为8 以
后，图式（3）至图式（6）相当于求出进行x2=x1…8 的变换后所应得出的新方
程（图式（6））：
…108x42…3200·106x32…3076800·104x22
…826880000·102x1＋38205440000=0
图式（7）相当于对上式进行x3=10x2 的变换后得出的新方程：
…104x43…3200·103x33…3076800·102x23
…826880000·10x3＋38205440000=0
最后求得x3=4，因此，
x=100x 1 =100（8＋x 2）=100（8＋
x3）=840
10
从（1）到（8）的各个步骤，基本上都是自下而上随乘随加，最后由“实”中
减去，有很强的机械性。这也是“增乘开方法”的主要特点。有人说，计
算机发明以后，解方程变得有趣了。确实是这样，秦九韶的高次方程数值
解法，可以毫无困难地转化为计算机程序。在《数书九章》中，秦九韶列
举了20 多个解方程问题，次数最高达10 次，除一般方法外，还讨论了“投
胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”等特殊情形，并将其广泛应用
于面积、体积、测量等方面的实际问题。在西方，关于高次方程数值解法
的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1804 年，意大利数学家P．鲁菲尼
（Ruffini， 1765—1822）才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理数
根的近似值问题，而1819 年英国数学家W。G。霍纳（Horner，1786—1837）
在英国皇家学会发表的论文“用连续逼近法解任何次数字方程的新方法”
中，才提出与增乘开方法演算步骤相同的算法，后被称为“霍纳法”。秦
九韶的成就要比鲁菲尼和霍纳早五六百年。
秦九韶对于一次同余组解法的理论概括，是他在数学史上的另一杰出
贡献。中算家对于一次同余式问题解法的研究是适应天文学家推算上元积
年的需要而产生的。最早见于记载的一次同余问题是《孙子算经》中的“物
不知数问题”（亦称“孙子问题”）：“今物不知其数，三三数之剩二，五
五数之剩三，七七数之剩二，问物几有何？”这相当于求解一次同余组：
N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7），
等价于求解不定方程组：
N=3x＋2，N=5y＋3，N=7Z＋2
的正整数解N。《孙子算经》所给出的答案是N=23，但其算法很简略，未
说明其理论根据。秦九韶在《数书九章》中明确给出了一次同余组的一般
性解法，现简要介绍如下：
已知
N≡Ri（modAi），i=1，2，3，。，n，
求最小的正整数N。设Ai 两两互素，若能求得一串数值k1，k2，。，k1，
使k2 分别满足
M
ki = ≡1（modA ） ，＝ 1，2， ，。，
Ai
ii3n，
其中M=A1·A2·A3·。·An，则
MM M
N o Rk ＋ Rk ＋ 。 ＋ R k （mod M）；
1122 nn
A1A2 An
于是，问题的解答为
N =。 nRk
M
…pM；
ii
A
i=1i
p 为正整数，它的取值要使N 成为小于M 的正整数。这就是孙子剩余
定理，在西方文献中称为“中国剩余定理”。
显然，一次同余组解法的关键是如何选定满足条件
M
ki o 1（mod Ai ）
Ai
的一组数kio。秦九韶将这组数称为“乘率”，并在《数书九章